初级微积分示例

$f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ 写为等式。

$y = \frac{3 x + 1}{x - 2}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{3 y + 1}{y - 2}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程乘以 $y - 2$ 。

$(y - 2) (x) = (\frac{3 y + 1}{y - 2}) (y - 2)$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$y x - 2 x = (\frac{3 y + 1}{y - 2}) (y - 2)$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

约去 $y - 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

约去公因数。

$y x - 2 x = \frac{3 y + 1}{y - 2} (y - 2)$

解题步骤 3.3.1.2

重写表达式。

$y x - 2 x = 3 y + 1$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

从等式两边同时减去 $3 y$ 。

$y x - 2 x - 3 y = 1$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上 $2 x$ 。

$y x - 3 y = 1 + 2 x$

解题步骤 3.4.3

从 $y x - 3 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

从 $y x$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x) - 3 y = 1 + 2 x$

解题步骤 3.4.3.2

从 $- 3 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x) + y \cdot - 3 = 1 + 2 x$

解题步骤 3.4.3.3

从 $y (x) + y \cdot - 3$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x - 3) = 1 + 2 x$

解题步骤 3.4.4

将 $y (x - 3) = 1 + 2 x$ 中的每一项除以 $x - 3$ 并化简。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $y (x - 3) = 1 + 2 x$ 中的每一项都除以 $x - 3$ 。

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{1}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3}$

解题步骤 3.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.4.2.1

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{1}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3}$

解题步骤 3.4.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{1}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3}$

解题步骤 3.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.4.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{1 + 2 x}{x - 3}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{x - 3}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{x - 3}$ 是否为 $f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2})$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{1 + 2 (\frac{3 x + 1}{x - 2})}{(\frac{3 x + 1}{x - 2}) - 3}$

解题步骤 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 2$ .

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解题步骤 5.2.3.1

将 $\frac{1 + 2 \frac{3 x + 1}{x - 2}}{\frac{3 x + 1}{x - 2} - 3}$ 乘以 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{1 + 2 (\frac{3 x + 1}{x - 2})}{\frac{3 x + 1}{x - 2} - 3}$

解题步骤 5.2.3.2

合并。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (1 + 2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{3 x + 1}{x - 2} - 3)}$

解题步骤 5.2.4

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 1 + (x - 2) (2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{3 x + 1}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 3}$

解题步骤 5.2.5

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 1 + (x - 2) (2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{3 x + 1}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 3}$

解题步骤 5.2.5.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 1 + (x - 2) (2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

解题步骤 5.2.6

化简分子。

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解题步骤 5.2.6.1

从 $(x - 2) \cdot 1 + (x - 2) \cdot 2 \frac{3 x + 1}{x - 2}$ 中分解出因数 $x - 2$ 。

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解题步骤 5.2.6.1.1

从 $(x - 2) \cdot 1$ 中分解出因数 $x - 2$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (1) + (x - 2) (2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

解题步骤 5.2.6.1.2

从 $(x - 2) (1) + (x - 2) (2 \frac{3 x + 1}{x - 2})$ 中分解出因数 $x - 2$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (1 + 2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

解题步骤 5.2.6.2

组合 $2$ 和 $\frac{3 x + 1}{x - 2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (1 + \frac{2 (3 x + 1)}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

解题步骤 5.2.6.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x - 2}{x - 2} + \frac{2 (3 x + 1)}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

解题步骤 5.2.6.4

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x - 2 + 2 (3 x + 1)}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

解题步骤 5.2.6.5

重新排序项。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 (3 x + 1) - 2}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

解题步骤 5.2.6.6

以因式分解的形式重写 $\frac{x + 2 (3 x + 1) - 2}{x - 2}$ 。

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解题步骤 5.2.6.6.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 (3 x) + 2 \cdot 1 - 2}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

解题步骤 5.2.6.6.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 6 x + 2 \cdot 1 - 2}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

解题步骤 5.2.6.6.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 6 x + 2 - 2}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

解题步骤 5.2.6.6.4

将 $x$ 和 $6 x$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x + 2 - 2}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

解题步骤 5.2.6.6.5

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x + 0}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

解题步骤 5.2.6.6.6

将 $7 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

解题步骤 5.2.7

化简分母。

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解题步骤 5.2.7.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{3 x + 1 + x \cdot - 3 - 2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.2.7.2

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{3 x + 1 - 3 \cdot x - 2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.2.7.3

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{3 x + 1 - 3 \cdot x + 6}$

解题步骤 5.2.7.4

从 $3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{0 + 1 + 6}$

解题步骤 5.2.7.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{1 + 6}$

解题步骤 5.2.7.6

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{7}$

解题步骤 5.2.8

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.8.1

从 $\frac{(x - 2) \frac{7 x}{x - 2}}{7}$ 中分解出因数 $\frac{7 x}{x - 2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{7 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{7}$

解题步骤 5.2.8.2

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.8.2.1

从 $7 x$ 中分解出因数 $7$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{7 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{7}$

解题步骤 5.2.8.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{7 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{7}$

解题步骤 5.2.8.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

解题步骤 5.2.8.3

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.8.3.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

解题步骤 5.2.8.3.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{1 + 2 x}{x - 3})$ 。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + 1}{(\frac{1 + 2 x}{x - 3}) - 2}$

解题步骤 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 3$ .

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解题步骤 5.3.3.1

将 $\frac{3 \frac{1 + 2 x}{x - 3} + 1}{\frac{1 + 2 x}{x - 3} - 2}$ 乘以 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{x - 3}{x - 3} \cdot \frac{3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + 1}{\frac{1 + 2 x}{x - 3} - 2}$

解题步骤 5.3.3.2

合并。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + 1)}{(x - 3) (\frac{1 + 2 x}{x - 3} - 2)}$

解题步骤 5.3.4

运用分配律。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3})) + (x - 3) \cdot 1}{(x - 3) (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.5

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.5.1

约去公因数。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3})) + (x - 3) \cdot 1}{(x - 3) (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.5.2

重写表达式。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3})) + (x - 3) \cdot 1}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.6

化简分子。

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解题步骤 5.3.6.1

从 $(x - 3) \cdot 3 \frac{1 + 2 x}{x - 3} + (x - 3) \cdot 1$ 中分解出因数 $x - 3$ 。

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解题步骤 5.3.6.1.1

从 $(x - 3) \cdot 3 \frac{1 + 2 x}{x - 3}$ 中分解出因数 $x - 3$ 。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3})) + (x - 3) \cdot 1}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.6.1.2

从 $(x - 3) \cdot 1$ 中分解出因数 $x - 3$ 。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3})) + (x - 3) (1)}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.6.1.3

从 $(x - 3) (3 \frac{1 + 2 x}{x - 3}) + (x - 3) (1)$ 中分解出因数 $x - 3$ 。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + 1)}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.6.2

组合 $3$ 和 $\frac{1 + 2 x}{x - 3}$ 。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 (1 + 2 x)}{x - 3} + 1)}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.6.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 (1 + 2 x)}{x - 3} + \frac{x - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.6.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 (1 + 2 x) + x - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.6.5

重新排序项。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{x + 3 (1 + 2 x) - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.6.6

以因式分解的形式重写 $\frac{x + 3 (1 + 2 x) - 3}{x - 3}$ 。

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解题步骤 5.3.6.6.1

运用分配律。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{x + 3 \cdot 1 + 3 (2 x) - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.6.6.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{x + 3 + 3 (2 x) - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.6.6.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{x + 3 + 6 x - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.6.6.4

将 $x$ 和 $6 x$ 相加。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x + 3 - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.6.6.5

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x + 0}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.6.6.6

将 $7 x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.7

化简分母。

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解题步骤 5.3.7.1

运用分配律。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{1 + 2 x + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.7.2

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{1 + 2 x - 2 \cdot x - 3 \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.7.3

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{1 + 2 x - 2 \cdot x + 6}$

解题步骤 5.3.7.4

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{2 x - 2 x + 7}$

解题步骤 5.3.7.5

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{0 + 7}$

解题步骤 5.3.7.6

将 $0$ 和 $7$ 相加。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{7}$

解题步骤 5.3.8

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.3.8.1

从 $\frac{(x - 3) \frac{7 x}{x - 3}}{7}$ 中分解出因数 $\frac{7 x}{x - 3}$ 。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{7 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{7}$

解题步骤 5.3.8.2

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.8.2.1

从 $7 x$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{7 (x)}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{7}$

解题步骤 5.3.8.2.2

约去公因数。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{7 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{7}$

解题步骤 5.3.8.2.3

重写表达式。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

解题步骤 5.3.8.3

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.8.3.1

约去公因数。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

解题步骤 5.3.8.3.2

重写表达式。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{x - 3}$ 为 $f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{x - 3}$

初级微积分 示例

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