初级微积分示例

$f (x) = \frac{1}{x} - 2$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{1}{x} - 2$ 写为等式。

$y = \frac{1}{x} - 2$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{1}{y} - 2$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{1}{y} - 2 = x$ 。

$\frac{1}{y} - 2 = x$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$\frac{1}{y} = x + 2$

解题步骤 3.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y, 1, 1$

解题步骤 3.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y$

解题步骤 3.4

将 $\frac{1}{y} = x + 2$ 中的每一项乘以 $y$ 以消去分数。

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解题步骤 3.4.1

将 $\frac{1}{y} = x + 2$ 中的每一项乘以 $y$ 。

$\frac{1}{y} y = x y + 2 y$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{y} y = x y + 2 y$

解题步骤 3.4.2.1.2

重写表达式。

$1 = x y + 2 y$

解题步骤 3.5

求解方程。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $x y + 2 y = 1$ 。

$x y + 2 y = 1$

解题步骤 3.5.2

从 $x y + 2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y x + 2 y = 1$

解题步骤 3.5.2.2

从 $2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y x + y \cdot 2 = 1$

解题步骤 3.5.2.3

从 $y x + y \cdot 2$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x + 2) = 1$

解题步骤 3.5.3

将 $y (x + 2) = 1$ 中的每一项除以 $x + 2$ 并化简。

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解题步骤 3.5.3.1

将 $y (x + 2) = 1$ 中的每一项都除以 $x + 2$ 。

$\frac{y (x + 2)}{x + 2} = \frac{1}{x + 2}$

解题步骤 3.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.3.2.1

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (x + 2)}{x + 2} = \frac{1}{x + 2}$

解题步骤 3.5.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{1}{x + 2}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x + 2}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x + 2}$ 是否为 $f (x) = \frac{1}{x} - 2$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{1}{x} - 2)$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{x} - 2) = \frac{1}{(\frac{1}{x} - 2) + 2}$

解题步骤 5.2.3

化简分母。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{x} - 2) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $\frac{1}{x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{x} - 2) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 5.2.4

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{1}{x} - 2) = 1 x$

解题步骤 5.2.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{x} - 2) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{1}{x + 2})$ 。

$f (\frac{1}{x + 2}) = \frac{1}{\frac{1}{x + 2}} - 2$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{1}{x + 2}) = 1 (x + 2) - 2$

解题步骤 5.3.3.2

将 $x + 2$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1}{x + 2}) = x + 2 - 2$

解题步骤 5.3.4

合并 $x + 2 - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f (\frac{1}{x + 2}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{1}{x + 2}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x + 2}$ 为 $f (x) = \frac{1}{x} - 2$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x + 2}$

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