初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ 写为等式。

$y = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程乘以 $y^{2} + y - 2$ 。

$(y^{2} + y - 2) (x) = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$y^{2} x + y x - 2 x = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简 $(\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 3.3.1.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 y + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

解题步骤 3.3.1.1.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

解题步骤 3.3.1.1.3

重写多项式。

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

解题步骤 3.3.1.1.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 1$ 。

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

解题步骤 3.3.1.2

使用 AC 法来对 $y^{2} + y - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.3.1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $1$ 。

$- 1, 2$

解题步骤 3.3.1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)} (y^{2} + y - 2)$

解题步骤 3.3.1.3

将 $\frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)}$ 乘以 $y^{2} + y - 2$ 。

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y^{2} + y - 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

解题步骤 3.3.1.4

使用 AC 法来对 $y^{2} + y - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.3.1.4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $1$ 。

$- 1, 2$

解题步骤 3.3.1.4.2

使用这些整数书写分数形式。

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} ((y - 1) (y + 2))}{(y - 1) (y + 2)}$

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

解题步骤 3.3.1.5

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.3.1.5.1

约去 $y - 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.5.1.1

约去公因数。

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

解题步骤 3.3.1.5.1.2

重写表达式。

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

解题步骤 3.3.1.5.2

约去 $y + 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.5.2.1

约去公因数。

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

解题步骤 3.3.1.5.2.2

用 ${(y + 1)}^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} x + y x - 2 x = {(y + 1)}^{2}$

解题步骤 3.3.1.5.3

将 ${(y + 1)}^{2}$ 重写为 $(y + 1) (y + 1)$ 。

$y^{2} x + y x - 2 x = (y + 1) (y + 1)$

解题步骤 3.3.1.6

使用 FOIL 方法展开 $(y + 1) (y + 1)$ 。

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解题步骤 3.3.1.6.1

运用分配律。

$y^{2} x + y x - 2 x = y (y + 1) + 1 (y + 1)$

解题步骤 3.3.1.6.2

运用分配律。

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 (y + 1)$

解题步骤 3.3.1.6.3

运用分配律。

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

解题步骤 3.3.1.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.7.1.1

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

解题步骤 3.3.1.7.1.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + 1 y + 1 \cdot 1$

解题步骤 3.3.1.7.1.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1 \cdot 1$

解题步骤 3.3.1.7.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1$

解题步骤 3.3.1.7.2

将 $y$ 和 $y$ 相加。

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + 2 y + 1$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

将所有包含 $y$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.4.1.1

从等式两边同时减去 $y^{2}$ 。

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} = 2 y + 1$

解题步骤 3.4.1.2

从等式两边同时减去 $2 y$ 。

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y = 1$

解题步骤 3.4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y - 1 = 0$

解题步骤 3.4.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.4.4

将 $a = x - 1$ 、 $b = x - 2$ 和 $c = - 2 x - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{- (x - 2) \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot ((x - 1) \cdot (- 2 x - 1))}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5

化简分子。

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解题步骤 3.4.5.1

运用分配律。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.3

将 ${(x - 2)}^{2}$ 重写为 $(x - 2) (x - 2)$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.4

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 3.4.5.4.1

运用分配律。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.4.2

运用分配律。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.4.3

运用分配律。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.5.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.5.5.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.5.1.2

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.5.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.5.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.6

运用分配律。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.7

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.8

使用 FOIL 方法展开 $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ 。

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解题步骤 3.4.5.8.1

运用分配律。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.8.2

运用分配律。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.8.3

运用分配律。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.5.9.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.5.9.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.9.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.5.9.1.2.1

移动 $x$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.9.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.9.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.9.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.9.1.5

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.9.1.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.9.2

从 $4 x$ 中减去 $8 x$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.10

将 $x^{2}$ 和 $8 x^{2}$ 相加。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.11

从 $- 4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.12

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.13

将 $9 x^{2} - 8 x$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.14

从 $9 x^{2} - 8 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.4.5.14.1

从 $9 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.14.2

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.5.14.3

从 $x (9 x) + x \cdot - 8$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 3.4.6.1

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = \frac{- x + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.6.2

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (x) + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.6.3

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.6.4

从 $- (x) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (x - 2) + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.6.5

从 $\sqrt{x (9 x - 8)}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.6.6

从 $- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.6.7

将 $- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ 重写为 $- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ 。

$y = \frac{- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.6.8

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 3.4.7.1

化简分子。

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解题步骤 3.4.7.1.1

运用分配律。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.3

将 ${(x - 2)}^{2}$ 重写为 $(x - 2) (x - 2)$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.4

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 3.4.7.1.4.1

运用分配律。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.4.2

运用分配律。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.4.3

运用分配律。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.7.1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.7.1.5.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.5.1.2

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.5.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.5.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.6

运用分配律。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.7

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.8

使用 FOIL 方法展开 $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ 。

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解题步骤 3.4.7.1.8.1

运用分配律。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.8.2

运用分配律。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.8.3

运用分配律。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.7.1.9.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.7.1.9.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.9.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.7.1.9.1.2.1

移动 $x$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.9.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.9.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.9.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.9.1.5

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.9.1.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.9.2

从 $4 x$ 中减去 $8 x$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.10

将 $x^{2}$ 和 $8 x^{2}$ 相加。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.11

从 $- 4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.12

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.13

将 $9 x^{2} - 8 x$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.14

从 $9 x^{2} - 8 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.4.7.1.14.1

从 $9 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.14.2

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.1.14.3

从 $x (9 x) + x \cdot - 8$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.2

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = \frac{- x + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.3

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (x) + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.4

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.5

从 $- (x) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (x - 2) - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.6

从 $- \sqrt{x (9 x - 8)}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.7

从 $- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.8

将 $- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ 重写为 $- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ 。

$y = \frac{- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.7.9

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 3.4.8

最终答案为两个解的组合。

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ 是否为 $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ 和 $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, \infty)$

解题步骤 5.3

求 $- \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1

将 $\sqrt{x (9 x - 8)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x (9 x - 8) \geq 0$

解题步骤 5.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$9 x - 8 = 0$

解题步骤 5.3.2.2

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.3.2.3

将 $9 x - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.3.1

将 $9 x - 8$ 设为等于 $0$ 。

$9 x - 8 = 0$

解题步骤 5.3.2.3.2

求解 $x$ 的 $9 x - 8 = 0$ 。

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解题步骤 5.3.2.3.2.1

在等式两边都加上 $8$ 。

$9 x = 8$

解题步骤 5.3.2.3.2.2

将 $9 x = 8$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.3.2.2.1

将 $9 x = 8$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

解题步骤 5.3.2.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.3.2.2.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

解题步骤 5.3.2.3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{8}{9}$

解题步骤 5.3.2.4

最终解为使 $x (9 x - 8) \geq 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{8}{9}$

解题步骤 5.3.2.5

使用每一个根建立验证区间。

$x < 0$

$0 < x < \frac{8}{9}$

$x > \frac{8}{9}$

解题步骤 5.3.2.6

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 5.3.2.6.1

检验区间 $x < 0$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 5.3.2.6.1.1

选择区间 $x < 0$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 2$

解题步骤 5.3.2.6.1.2

使用原不等式中的 $- 2$ 替换 $x$ 。

$(- 2) (9 (- 2) - 8) \geq 0$

解题步骤 5.3.2.6.1.3

左边的 $52$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 5.3.2.6.2

检验区间 $0 < x < \frac{8}{9}$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 5.3.2.6.2.1

选择区间 $0 < x < \frac{8}{9}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 0.44$

解题步骤 5.3.2.6.2.2

使用原不等式中的 $0.44$ 替换 $x$ 。

$(0.44) (9 (0.44) - 8) \geq 0$

解题步骤 5.3.2.6.2.3

左边的 $- 1.7776$ 小于右边的 $0$ ，即给定的命题是假命题。

False

解题步骤 5.3.2.6.3

检验区间 $x > \frac{8}{9}$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 5.3.2.6.3.1

选择区间 $x > \frac{8}{9}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 3$

解题步骤 5.3.2.6.3.2

使用原不等式中的 $3$ 替换 $x$ 。

$(3) (9 (3) - 8) \geq 0$

解题步骤 5.3.2.6.3.3

左边的 $57$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 5.3.2.6.4

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < 0$ 为真

$0 < x < \frac{8}{9}$ 为假

$x > \frac{8}{9}$ 为真

$x < 0$ 为真

$0 < x < \frac{8}{9}$ 为假

$x > \frac{8}{9}$ 为真

解题步骤 5.3.2.7

解由使等式成立的所有区间组成。

$x \leq 0$ 或 $x \geq \frac{8}{9}$

解题步骤 5.3.3

将 $\frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$2 (x - 1) = 0$

解题步骤 5.3.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $2 (x - 1) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.3.4.1.1

将 $2 (x - 1) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.3.4.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.4.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.3.4.1.2.1.2

用 $x - 1$ 除以 $1$ 。

$x - 1 = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.3.4.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.4.1.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 5.3.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 5.3.5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 5.4

因为 $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ 的定义域并不等于 $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ 的值域，所以 $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ 并非 $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ 的反函数。

不存在反函数

解题步骤 6

初级微积分 示例

初级微积分示例