初级微积分示例

$f (x) = \sqrt[6]{x + 3}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \sqrt[6]{x + 3}$ 写为等式。

$y = \sqrt[6]{x + 3}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \sqrt[6]{y + 3}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\sqrt[6]{y + 3} = x$ 。

$\sqrt[6]{y + 3} = x$

解题步骤 3.2

要去掉方程左边的根号，请将方程两边同时取 $6$ 次幂。

${\sqrt[6]{y + 3}}^{6} = x^{6}$

解题步骤 3.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[6]{y + 3}$ 重写成 ${(y + 3)}^{\frac{1}{6}}$ 。

${({(y + 3)}^{\frac{1}{6}})}^{6} = x^{6}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 ${({(y + 3)}^{\frac{1}{6}})}^{6}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 ${({(y + 3)}^{\frac{1}{6}})}^{6}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(y + 3)}^{\frac{1}{6} \cdot 6} = x^{6}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(y + 3)}^{\frac{1}{6} \cdot 6} = x^{6}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(y + 3)}^{1} = x^{6}$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简。

$y + 3 = x^{6}$

解题步骤 3.4

从等式两边同时减去 $3$ 。

$y = x^{6} - 3$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{6} - 3$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = x^{6} - 3$ 是否为 $f (x) = \sqrt[6]{x + 3}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3})$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = {(\sqrt[6]{x + 3})}^{6} - 3$

解题步骤 5.2.3

将 ${\sqrt[6]{x + 3}}^{6}$ 重写为 $x + 3$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[6]{x + 3}$ 重写成 ${(x + 3)}^{\frac{1}{6}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = {({(x + 3)}^{\frac{1}{6}})}^{6} - 3$

解题步骤 5.2.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = {(x + 3)}^{\frac{1}{6} \cdot 6} - 3$

解题步骤 5.2.3.3

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $6$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = {(x + 3)}^{\frac{6}{6}} - 3$

解题步骤 5.2.3.4

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = {(x + 3)}^{\frac{6}{6}} - 3$

解题步骤 5.2.3.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = (x + 3) - 3$

解题步骤 5.2.3.5

化简。

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = x + 3 - 3$

解题步骤 5.2.4

合并 $x + 3 - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (x^{6} - 3)$ 。

$f (x^{6} - 3) = \sqrt[6]{(x^{6} - 3) + 3}$

解题步骤 5.3.3

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$f (x^{6} - 3) = \sqrt[6]{x^{6} + 0}$

解题步骤 5.3.4

将 $x^{6}$ 和 $0$ 相加。

$f (x^{6} - 3) = \sqrt[6]{x^{6}}$

解题步骤 5.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (x^{6} - 3) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = x^{6} - 3$ 为 $f (x) = \sqrt[6]{x + 3}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = x^{6} - 3$

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