初级微积分示例

$f (x) = e^{3 x - 5} - 2$

解题步骤 1

将 $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ 写为等式。

$y = e^{3 x - 5} - 2$

解题步骤 2

交换变量。

$x = e^{3 y - 5} - 2$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $e^{3 y - 5} - 2 = x$ 。

$e^{3 y - 5} - 2 = x$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$e^{3 y - 5} = x + 2$

解题步骤 3.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{3 y - 5}) = \ln (x + 2)$

解题步骤 3.4

展开左边。

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解题步骤 3.4.1

通过将 $3 y - 5$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{3 y - 5})$ 。

$(3 y - 5) \ln (e) = \ln (x + 2)$

解题步骤 3.4.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$(3 y - 5) \cdot 1 = \ln (x + 2)$

解题步骤 3.4.3

将 $3 y - 5$ 乘以 $1$ 。

$3 y - 5 = \ln (x + 2)$

解题步骤 3.5

在等式两边都加上 $5$ 。

$3 y = \ln (x + 2) + 5$

解题步骤 3.6

将 $3 y = \ln (x + 2) + 5$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.6.1

将 $3 y = \ln (x + 2) + 5$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

解题步骤 3.6.2

化简左边。

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解题步骤 3.6.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

解题步骤 3.6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ 是否为 $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2)$ 。

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

解题步骤 5.2.3

化简项。

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解题步骤 5.2.3.1

合并 $\frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.3.1.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5} + 0)}{3} + \frac{5}{3}$

解题步骤 5.2.3.1.2

将 $e^{3 x - 5}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5})}{3} + \frac{5}{3}$

解题步骤 5.2.3.2

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5}) + 5}{3}$

解题步骤 5.2.4

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.1

使用对数规则把 $3 x - 5$ 移到指数外部。

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \ln (e) + 5}{3}$

解题步骤 5.2.4.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \cdot 1 + 5}{3}$

解题步骤 5.2.4.3

将 $3 x - 5$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x - 5 + 5}{3}$

解题步骤 5.2.5

化简项。

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解题步骤 5.2.5.1

合并 $3 x - 5 + 5$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.5.1.1

将 $- 5$ 和 $5$ 相加。

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x + 0}{3}$

解题步骤 5.2.5.1.2

将 $3 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

解题步骤 5.2.5.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

解题步骤 5.2.5.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3})$ 。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1.1.1

将 $\frac{\ln (x + 2)}{3}$ 重写为 $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ 。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{1}{3} \cdot \ln (x + 2) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

解题步骤 5.3.3.1.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ 。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

解题步骤 5.3.3.1.2

要将 $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

解题步骤 5.3.3.1.3

组合 $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

解题步骤 5.3.3.1.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3 + 5}{3}) - 5} - 2$

解题步骤 5.3.3.1.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.5.1

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.1.5.1.1

乘以 $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3$ 。

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解题步骤 5.3.3.1.5.1.1.1

将 $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ 和 $3$ 重新排序。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + 5}{3}) - 5} - 2$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ 。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.2

将 ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.3.1.5.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.5.1.2.2.1

约去公因数。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.2.2.2

重写表达式。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{1}) + 5}{3}) - 5} - 2$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.3

化简。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

解题步骤 5.3.3.1.5.2

约去公因数。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

解题步骤 5.3.3.1.5.3

重写表达式。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 5 - 5} - 2$

解题步骤 5.3.3.2

合并 $\ln (x + 2) + 5 - 5$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.3.2.1

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 0} - 2$

解题步骤 5.3.3.2.2

将 $\ln (x + 2)$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2)} - 2$

解题步骤 5.3.3.3

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 2 - 2$

解题步骤 5.3.4

合并 $x + 2 - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ 为 $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

初级微积分 示例

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