初级微积分示例

$f (x) = \sqrt{4 x + 12}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \sqrt{4 x + 12}$ 写为等式。

$y = \sqrt{4 x + 12}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \sqrt{4 y + 12}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\sqrt{4 y + 12} = x$ 。

$\sqrt{4 y + 12} = x$

解题步骤 3.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{4 y + 12}}^{2} = x^{2}$

解题步骤 3.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 y + 12}$ 重写成 ${(4 y + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(4 y + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 ${({(4 y + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 ${({(4 y + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(4 y + 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(4 y + 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(4 y + 12)}^{1} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简。

$4 y + 12 = x^{2}$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

从等式两边同时减去 $12$ 。

$4 y = x^{2} - 12$

解题步骤 3.4.2

将 $4 y = x^{2} - 12$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $4 y = x^{2} - 12$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 12}{4}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 12}{4}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 12}{4}$

解题步骤 3.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.3.1

用 $- 12$ 除以 $4$ 。

$y = \frac{x^{2}}{4} - 3$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - 3$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - 3$ 是否为 $f (x) = \sqrt{4 x + 12}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12})$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{{(\sqrt{4 x + 12})}^{2}}{4} - 3$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1.1

从 $4 x + 12$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.1.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{{\sqrt{4 (x) + 12}}^{2}}{4} - 3$

解题步骤 5.2.3.1.1.2

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{{\sqrt{4 x + 4 \cdot 3}}^{2}}{4} - 3$

解题步骤 5.2.3.1.1.3

从 $4 x + 4 \cdot 3$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{{\sqrt{4 (x + 3)}}^{2}}{4} - 3$

解题步骤 5.2.3.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{{\sqrt{2^{2} (x + 3)}}^{2}}{4} - 3$

解题步骤 5.2.3.1.3

从根式下提出各项。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{{(2 \sqrt{x + 3})}^{2}}{4} - 3$

解题步骤 5.2.3.1.4

对 $2 \sqrt{x + 3}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{2^{2} {\sqrt{x + 3}}^{2}}{4} - 3$

解题步骤 5.2.3.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 {\sqrt{x + 3}}^{2}}{4} - 3$

解题步骤 5.2.3.1.6

将 ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ 重写为 $x + 3$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 3}$ 重写成 ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} - 3$

解题步骤 5.2.3.1.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} - 3$

解题步骤 5.2.3.1.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 {(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}{4} - 3$

解题步骤 5.2.3.1.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.6.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 {(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}{4} - 3$

解题步骤 5.2.3.1.6.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 (x + 3)}{4} - 3$

解题步骤 5.2.3.1.6.5

化简。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 (x + 3)}{4} - 3$

解题步骤 5.2.3.1.7

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 x + 4 \cdot 3}{4} - 3$

解题步骤 5.2.3.1.8

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 x + 12}{4} - 3$

解题步骤 5.2.3.1.9

从 $4 x + 12$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.9.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 (x) + 12}{4} - 3$

解题步骤 5.2.3.1.9.2

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 x + 4 \cdot 3}{4} - 3$

解题步骤 5.2.3.1.9.3

从 $4 x + 4 \cdot 3$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 (x + 3)}{4} - 3$

解题步骤 5.2.3.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 (x + 3)}{4} - 3$

解题步骤 5.2.3.2.2

用 $x + 3$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = x + 3 - 3$

解题步骤 5.2.4

合并 $x + 3 - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{x^{2}}{4} - 3)$ 。

$f (\frac{x^{2}}{4} - 3) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} - 3) + 12}$

解题步骤 5.3.3

从 $4 (\frac{x^{2}}{4} - 3) + 12$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{x^{2}}{4} - 3) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} - 3) + 4 \cdot 3}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $4 (\frac{x^{2}}{4} - 3) + 4 \cdot 3$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{x^{2}}{4} - 3) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} - 3 + 3)}$

解题步骤 5.3.4

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$f (\frac{x^{2}}{4} - 3) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 0)}$

解题步骤 5.3.4.2

将 $\frac{x^{2}}{4}$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{x^{2}}{4} - 3) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4})}$

解题步骤 5.3.5

组合 $4$ 和 $\frac{x^{2}}{4}$ 。

$f (\frac{x^{2}}{4} - 3) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

解题步骤 5.3.6

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.3.6.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{4 x^{2}}{4}$ 。

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解题步骤 5.3.6.1.1

约去公因数。

$f (\frac{x^{2}}{4} - 3) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

解题步骤 5.3.6.1.2

重写表达式。

$f (\frac{x^{2}}{4} - 3) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

解题步骤 5.3.6.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{x^{2}}{4} - 3) = \sqrt{x^{2}}$

解题步骤 5.3.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\frac{x^{2}}{4} - 3) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - 3$ 为 $f (x) = \sqrt{4 x + 12}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - 3$

初级微积分 示例

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