初级微积分示例

$f (x) = \sqrt{2 x - 5}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \sqrt{2 x - 5}$ 写为等式。

$y = \sqrt{2 x - 5}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \sqrt{2 y - 5}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将方程重写为 $\sqrt{2 y - 5} = x$ 。

$\sqrt{2 y - 5} = x$

解题步骤 3.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{2 y - 5}}^{2} = x^{2}$

解题步骤 3.3

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 y - 5}$ 重写成 ${(2 y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(2 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

化简 ${({(2 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.1

将 ${({(2 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(2 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(2 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(2 y - 5)}^{1} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简。

$2 y - 5 = x^{2}$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$2 y = x^{2} + 5$

解题步骤 3.4.2

将 $2 y = x^{2} + 5$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1

将 $2 y = x^{2} + 5$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$ 是否为 $f (x) = \sqrt{2 x - 5}$ 的反函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5})$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{{(\sqrt{2 x - 5})}^{2}}{2} + \frac{5}{2}$

解题步骤 5.2.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{{(\sqrt{2 x - 5})}^{2} + 5}{2}$

解题步骤 5.2.4

将 ${\sqrt{2 x - 5}}^{2}$ 重写为 $2 x - 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x - 5}$ 重写成 ${(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{{({(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5}{2}$

解题步骤 5.2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{{(2 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5}{2}$

解题步骤 5.2.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{{(2 x - 5)}^{\frac{2}{2}} + 5}{2}$

解题步骤 5.2.4.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.4.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{{(2 x - 5)}^{\frac{2}{2}} + 5}{2}$

解题步骤 5.2.4.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{(2 x - 5) + 5}{2}$

解题步骤 5.2.4.5

化简。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{2 x - 5 + 5}{2}$

解题步骤 5.2.5

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.5.1

合并 $2 x - 5 + 5$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.5.1.1

将 $- 5$ 和 $5$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{2 x + 0}{2}$

解题步骤 5.2.5.1.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 5.2.5.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.5.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 5.2.5.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2})$ 。

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) - 5}$

解题步骤 5.3.3

运用分配律。

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (\frac{5}{2}) - 5}$

解题步骤 5.3.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.4.1

约去公因数。

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (\frac{5}{2}) - 5}$

解题步骤 5.3.4.2

重写表达式。

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{x^{2} + 2 (\frac{5}{2}) - 5}$

解题步骤 5.3.5

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.5.1

约去公因数。

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{x^{2} + 2 (\frac{5}{2}) - 5}$

解题步骤 5.3.5.2

重写表达式。

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{x^{2} + 5 - 5}$

解题步骤 5.3.6

通过减去各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.6.1

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

解题步骤 5.3.6.2

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{x^{2}}$

解题步骤 5.3.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$ 为 $f (x) = \sqrt{2 x - 5}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$

初级微积分 示例

初级微积分示例