初级微积分示例

$f (x) = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ 写为等式。

$y = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \sqrt{\frac{y + 3}{y - 2}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程乘以 $y - 2$ 。

$(y - 2) (x) = (\sqrt{\frac{y + 3}{y - 2}}) (y - 2)$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$y x - 2 x = (\sqrt{\frac{y + 3}{y - 2}}) (y - 2)$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简 $(\sqrt{\frac{y + 3}{y - 2}}) (y - 2)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $\sqrt{\frac{y + 3}{y - 2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{y + 3}}{\sqrt{y - 2}}$ 。

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3}}{\sqrt{y - 2}} (y - 2)$

解题步骤 3.3.1.2

将 $\frac{\sqrt{y + 3}}{\sqrt{y - 2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{y - 2}}{\sqrt{y - 2}}$ 。

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3}}{\sqrt{y - 2}} \cdot \frac{\sqrt{y - 2}}{\sqrt{y - 2}} (y - 2)$

解题步骤 3.3.1.3

合并和化简分母。

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解题步骤 3.3.1.3.1

将 $\frac{\sqrt{y + 3}}{\sqrt{y - 2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{y - 2}}{\sqrt{y - 2}}$ 。

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{\sqrt{y - 2} \sqrt{y - 2}} (y - 2)$

解题步骤 3.3.1.3.2

对 $\sqrt{y - 2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{\sqrt{y - 2}}^{1} \sqrt{y - 2}} (y - 2)$

解题步骤 3.3.1.3.3

对 $\sqrt{y - 2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{\sqrt{y - 2}}^{1} {\sqrt{y - 2}}^{1}} (y - 2)$

解题步骤 3.3.1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{\sqrt{y - 2}}^{1 + 1}} (y - 2)$

解题步骤 3.3.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{\sqrt{y - 2}}^{2}} (y - 2)$

解题步骤 3.3.1.3.6

将 ${\sqrt{y - 2}}^{2}$ 重写为 $y - 2$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y - 2}$ 重写成 ${(y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (y - 2)$

解题步骤 3.3.1.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (y - 2)$

解题步骤 3.3.1.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{(y - 2)}^{\frac{2}{2}}} (y - 2)$

解题步骤 3.3.1.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.3.6.4.1

约去公因数。

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{(y - 2)}^{\frac{2}{2}}} (y - 2)$

解题步骤 3.3.1.3.6.4.2

重写表达式。

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{(y - 2)}^{1}} (y - 2)$

解题步骤 3.3.1.3.6.5

化简。

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{y - 2} (y - 2)$

解题步骤 3.3.1.4

使用根数乘积法则进行合并。

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{(y + 3) (y - 2)}}{y - 2} (y - 2)$

解题步骤 3.3.1.5

约去 $y - 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.5.1

约去公因数。

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{(y + 3) (y - 2)}}{y - 2} (y - 2)$

解题步骤 3.3.1.5.2

重写表达式。

$y x - 2 x = \sqrt{(y + 3) (y - 2)}$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $y$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$\sqrt{(y + 3) (y - 2)} = y x - 2 x$

解题步骤 3.4.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{(y + 3) (y - 2)}}^{2} = {(y x - 2 x)}^{2}$

解题步骤 3.4.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(y + 3) (y - 2)}$ 重写成 ${((y + 3) (y - 2))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({((y + 3) (y - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y x - 2 x)}^{2}$

解题步骤 3.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.3.2.1

化简 ${({((y + 3) (y - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.3.2.1.1

将 ${({((y + 3) (y - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${((y + 3) (y - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y x - 2 x)}^{2}$

解题步骤 3.4.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${((y + 3) (y - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y x - 2 x)}^{2}$

解题步骤 3.4.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${((y + 3) (y - 2))}^{1} = {(y x - 2 x)}^{2}$

解题步骤 3.4.3.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(y + 3) (y - 2)$ 。

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解题步骤 3.4.3.2.1.2.1

运用分配律。

${(y (y - 2) + 3 (y - 2))}^{1} = {(y x - 2 x)}^{2}$

解题步骤 3.4.3.2.1.2.2

运用分配律。

${(y \cdot y + y \cdot - 2 + 3 (y - 2))}^{1} = {(y x - 2 x)}^{2}$

解题步骤 3.4.3.2.1.2.3

运用分配律。

${(y \cdot y + y \cdot - 2 + 3 y + 3 \cdot - 2)}^{1} = {(y x - 2 x)}^{2}$

解题步骤 3.4.3.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.3.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.3.2.1.3.1.1

将 $y$ 乘以 $y$ 。

${(y^{2} + y \cdot - 2 + 3 y + 3 \cdot - 2)}^{1} = {(y x - 2 x)}^{2}$

解题步骤 3.4.3.2.1.3.1.2

将 $- 2$ 移到 $y$ 的左侧。

${(y^{2} - 2 \cdot y + 3 y + 3 \cdot - 2)}^{1} = {(y x - 2 x)}^{2}$

解题步骤 3.4.3.2.1.3.1.3

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

${(y^{2} - 2 y + 3 y - 6)}^{1} = {(y x - 2 x)}^{2}$

解题步骤 3.4.3.2.1.3.2

将 $- 2 y$ 和 $3 y$ 相加。

${(y^{2} + y - 6)}^{1} = {(y x - 2 x)}^{2}$

解题步骤 3.4.3.2.1.4

化简。

$y^{2} + y - 6 = {(y x - 2 x)}^{2}$

解题步骤 3.4.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.3.1

化简 ${(y x - 2 x)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.3.3.1.1

将 ${(y x - 2 x)}^{2}$ 重写为 $(y x - 2 x) (y x - 2 x)$ 。

$y^{2} + y - 6 = (y x - 2 x) (y x - 2 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(y x - 2 x) (y x - 2 x)$ 。

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解题步骤 3.4.3.3.1.2.1

运用分配律。

$y^{2} + y - 6 = y x (y x - 2 x) - 2 x (y x - 2 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.2.2

运用分配律。

$y^{2} + y - 6 = y x (y x) + y x (- 2 x) - 2 x (y x - 2 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.2.3

运用分配律。

$y^{2} + y - 6 = y x (y x) + y x (- 2 x) - 2 x (y x) - 2 x (- 2 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.3.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.1

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.1.1

移动 $y$ 。

$y^{2} + y - 6 = y \cdot y x \cdot x + y x (- 2 x) - 2 x (y x) - 2 x (- 2 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.1.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x \cdot x + y x (- 2 x) - 2 x (y x) - 2 x (- 2 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$y^{2} + y - 6 = y^{2} (x \cdot x) + y x (- 2 x) - 2 x (y x) - 2 x (- 2 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} + y x (- 2 x) - 2 x (y x) - 2 x (- 2 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y x \cdot x - 2 x (y x) - 2 x (- 2 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.4.1

移动 $x$ 。

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y (x \cdot x) - 2 x (y x) - 2 x (- 2 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y x^{2} - 2 x (y x) - 2 x (- 2 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y x^{2} - 2 (x \cdot x) y - 2 x (- 2 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y x^{2} - 2 x^{2} y - 2 x (- 2 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y x^{2} - 2 x^{2} y - 2 \cdot - 2 x \cdot x$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.7.1

移动 $x$ 。

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y x^{2} - 2 x^{2} y - 2 \cdot - 2 (x \cdot x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.7.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y x^{2} - 2 x^{2} y - 2 \cdot - 2 x^{2}$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.8

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y x^{2} - 2 x^{2} y + 4 x^{2}$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.2

从 $- 2 y x^{2}$ 中减去 $2 x^{2} y$ 。

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解题步骤 3.4.3.3.1.3.2.1

移动 $y$ 。

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 x^{2} y - 2 x^{2} y + 4 x^{2}$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.2.2

从 $- 2 x^{2} y$ 中减去 $2 x^{2} y$ 。

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 4 x^{2} y + 4 x^{2}$

解题步骤 3.4.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.4.1

将所有包含 $y$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.4.4.1.1

从等式两边同时减去 $y^{2} x^{2}$ 。

$y^{2} + y - 6 - y^{2} x^{2} = - 4 x^{2} y + 4 x^{2}$

解题步骤 3.4.4.1.2

在等式两边都加上 $4 x^{2} y$ 。

$y^{2} + y - 6 - y^{2} x^{2} + 4 x^{2} y = 4 x^{2}$

解题步骤 3.4.4.2

从等式两边同时减去 $4 x^{2}$ 。

$y^{2} + y - 6 - y^{2} x^{2} + 4 x^{2} y - 4 x^{2} = 0$

解题步骤 3.4.4.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.4.4.4

将 $a = 1 - x^{2}$ 、 $b = 1 + 4 x^{2}$ 和 $c = - 6 - 4 x^{2}$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{- (1 + 4 x^{2}) \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot ((1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2}))}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5

化简。

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解题步骤 3.4.4.5.1

化简分子。

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解题步骤 3.4.4.5.1.1

运用分配律。

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - (4 x^{2}) \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 1 - (4 x^{2}) \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.4

将 ${(1 + 4 x^{2})}^{2}$ 重写为 $(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2})$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2})$ 。

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解题步骤 3.4.4.5.1.5.1

运用分配律。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 (1 + 4 x^{2}) + 4 x^{2} (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.5.2

运用分配律。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.5.3

运用分配律。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.4.5.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.4.5.1.6.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.6.1.2

将 $4 x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.6.1.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.6.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{2} x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.6.1.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.4.5.1.6.1.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 (x^{2} x^{2})) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.6.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{2 + 2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.6.1.5.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{4}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.6.1.6

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.6.2

将 $4 x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.7

运用分配律。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.8

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.9

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 + 4 x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.10

使用 FOIL 方法展开 $(- 4 + 4 x^{2}) (- 6 - 4 x^{2})$ 。

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解题步骤 3.4.4.5.1.10.1

运用分配律。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 (- 6 - 4 x^{2}) + 4 x^{2} (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.10.2

运用分配律。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot - 6 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.10.3

运用分配律。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot - 6 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.11

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.4.5.1.11.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.4.5.1.11.1.1

将 $- 4$ 乘以 $- 6$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.11.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.11.1.3

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.11.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{2} x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.11.1.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.4.5.1.11.1.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 (x^{2} x^{2}))}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.11.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{2 + 2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.11.1.5.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{4})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.11.1.6

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.11.2

从 $16 x^{2}$ 中减去 $24 x^{2}$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 - 8 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.12

将 $1$ 和 $24$ 相加。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{8 x^{2} + 16 x^{4} + 25 - 8 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.13

从 $8 x^{2}$ 中减去 $8 x^{2}$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{16 x^{4} + 25 + 0 - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.14

将 $16 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{16 x^{4} + 25 - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.15

从 $16 x^{4}$ 中减去 $16 x^{4}$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{0 + 25}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.16

将 $0$ 和 $25$ 相加。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{25}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.17

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{5^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.1.18

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.2

化简分母。

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解题步骤 3.4.4.5.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1^{2} - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.5.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.4.4.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 3.4.4.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.4.4.6.1.1

运用分配律。

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - (4 x^{2}) \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 1 - (4 x^{2}) \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.4

将 ${(1 + 4 x^{2})}^{2}$ 重写为 $(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2})$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2})$ 。

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解题步骤 3.4.4.6.1.5.1

运用分配律。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 (1 + 4 x^{2}) + 4 x^{2} (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.5.2

运用分配律。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.5.3

运用分配律。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.4.6.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.4.6.1.6.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.6.1.2

将 $4 x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.6.1.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.6.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{2} x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.6.1.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.4.6.1.6.1.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 (x^{2} x^{2})) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.6.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{2 + 2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.6.1.5.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{4}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.6.1.6

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.6.2

将 $4 x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.7

运用分配律。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.8

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.9

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 + 4 x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.10

使用 FOIL 方法展开 $(- 4 + 4 x^{2}) (- 6 - 4 x^{2})$ 。

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解题步骤 3.4.4.6.1.10.1

运用分配律。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 (- 6 - 4 x^{2}) + 4 x^{2} (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.10.2

运用分配律。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot - 6 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.10.3

运用分配律。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot - 6 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.11

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.4.6.1.11.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.4.6.1.11.1.1

将 $- 4$ 乘以 $- 6$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.11.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.11.1.3

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.11.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{2} x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.11.1.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.4.6.1.11.1.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 (x^{2} x^{2}))}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.11.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{2 + 2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.11.1.5.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{4})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.11.1.6

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.11.2

从 $16 x^{2}$ 中减去 $24 x^{2}$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 - 8 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.12

将 $1$ 和 $24$ 相加。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{8 x^{2} + 16 x^{4} + 25 - 8 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.13

从 $8 x^{2}$ 中减去 $8 x^{2}$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{16 x^{4} + 25 + 0 - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.14

将 $16 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{16 x^{4} + 25 - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.15

从 $16 x^{4}$ 中减去 $16 x^{4}$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{0 + 25}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.16

将 $0$ 和 $25$ 相加。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{25}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.17

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{5^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.1.18

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.2

化简分母。

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解题步骤 3.4.4.6.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1^{2} - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.6.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.4.4.6.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} + 5}{2 (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.4.4.6.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.4.6.4.1

将 $- 1$ 和 $5$ 相加。

$y = \frac{- 4 x^{2} + 4}{2 (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.4.4.6.4.2

从 $- 4 x^{2} + 4$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.4.4.6.4.2.1

从 $- 4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 (- x^{2}) + 4}{2 (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.4.4.6.4.2.2

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 (- x^{2}) + 4 (1)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.4.4.6.4.2.3

从 $4 (- x^{2}) + 4 (1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 (- x^{2} + 1)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.4.4.6.4.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \frac{4 (- x^{2} + 1^{2})}{2 (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.4.4.6.4.4

将 $- x^{2}$ 和 $1^{2}$ 重新排序。

$y = \frac{4 (1^{2} - x^{2})}{2 (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.4.4.6.4.5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$y = \frac{4 (1 + x) (1 - x)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.4.4.6.5

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.6.5.1

从 $4 (1 + x) (1 - x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (2 (1 + x) (1 - x))}{2 (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.4.4.6.5.2

约去公因数。

$y = \frac{2 (2 (1 + x) (1 - x))}{2 (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.4.4.6.5.3

重写表达式。

$y = 2$

解题步骤 3.4.4.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 3.4.4.7.1

化简分子。

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解题步骤 3.4.4.7.1.1

运用分配律。

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - (4 x^{2}) \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 1 - (4 x^{2}) \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.4

将 ${(1 + 4 x^{2})}^{2}$ 重写为 $(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2})$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2})$ 。

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解题步骤 3.4.4.7.1.5.1

运用分配律。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 (1 + 4 x^{2}) + 4 x^{2} (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.5.2

运用分配律。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.5.3

运用分配律。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.4.7.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.4.7.1.6.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.6.1.2

将 $4 x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.6.1.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.6.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{2} x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.6.1.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.4.7.1.6.1.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 (x^{2} x^{2})) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.6.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{2 + 2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.6.1.5.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{4}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.6.1.6

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.6.2

将 $4 x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.7

运用分配律。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.8

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.9

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 + 4 x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.10

使用 FOIL 方法展开 $(- 4 + 4 x^{2}) (- 6 - 4 x^{2})$ 。

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解题步骤 3.4.4.7.1.10.1

运用分配律。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 (- 6 - 4 x^{2}) + 4 x^{2} (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.10.2

运用分配律。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot - 6 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.10.3

运用分配律。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot - 6 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.11

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.4.7.1.11.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.4.7.1.11.1.1

将 $- 4$ 乘以 $- 6$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.11.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.11.1.3

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.11.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{2} x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.11.1.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.4.7.1.11.1.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 (x^{2} x^{2}))}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.11.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{2 + 2})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.11.1.5.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{4})}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.11.1.6

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.11.2

从 $16 x^{2}$ 中减去 $24 x^{2}$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 - 8 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.12

将 $1$ 和 $24$ 相加。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{8 x^{2} + 16 x^{4} + 25 - 8 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.13

从 $8 x^{2}$ 中减去 $8 x^{2}$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{16 x^{4} + 25 + 0 - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.14

将 $16 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{16 x^{4} + 25 - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.15

从 $16 x^{4}$ 中减去 $16 x^{4}$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{0 + 25}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.16

将 $0$ 和 $25$ 相加。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{25}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.17

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{5^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.1.18

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1 - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.2

化简分母。

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解题步骤 3.4.4.7.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1^{2} - x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.4.4.7.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} - 5}{2 (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.4.4.7.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.4.7.4.1

从 $- 1$ 中减去 $5$ 。

$y = \frac{- 4 x^{2} - 6}{2 (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.4.4.7.4.2

从 $- 4 x^{2} - 6$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.4.4.7.4.2.1

从 $- 4 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (- 2 x^{2}) - 6}{2 (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.4.4.7.4.2.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 3)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.4.4.7.4.2.3

从 $2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (- 2 x^{2} - 3)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.4.4.7.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.7.5.1

约去公因数。

$y = \frac{2 (- 2 x^{2} - 3)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.4.4.7.5.2

重写表达式。

$y = \frac{- 2 x^{2} - 3}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.4.4.7.6

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (2 x^{2}) - 3}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.4.4.7.7

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$y = \frac{- (2 x^{2}) - 1 \cdot 3}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.4.4.7.8

从 $- (2 x^{2}) - 1 (3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (2 x^{2} + 3)}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.4.4.7.9

将 $- (2 x^{2} + 3)$ 重写为 $- 1 (2 x^{2} + 3)$ 。

$y = \frac{- 1 (2 x^{2} + 3)}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.4.4.7.10

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.4.4.8

最终答案为两个解的组合。

$y = 2$

$y = - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$

$y = 2$

$y = - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$

$y = 2$

$y = - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$

$y = 2$

$y = - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = 2, - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = 2, - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$ 是否为 $f (x) = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ 和 $f^{- 1} (x) = 2, - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $f (x) = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[0, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 5.3

Find the domain of the inverse.

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解题步骤 5.3.1

求 $2$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5.3.2

求 $- \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $\frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$(1 + x) (1 - x) = 0$

解题步骤 5.3.2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.2.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

解题步骤 5.3.2.2.2

将 $1 + x$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.2.2.1

将 $1 + x$ 设为等于 $0$ 。

$1 + x = 0$

解题步骤 5.3.2.2.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 5.3.2.2.3

将 $1 - x$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.2.3.1

将 $1 - x$ 设为等于 $0$ 。

$1 - x = 0$

解题步骤 5.3.2.2.3.2

求解 $x$ 的 $1 - x = 0$ 。

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解题步骤 5.3.2.2.3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- x = - 1$

解题步骤 5.3.2.2.3.2.2

将 $- x = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.2.3.2.2.1

将 $- x = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.2.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.2.3.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.2.3.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.2.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.2.3.2.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$x = 1$

解题步骤 5.3.2.2.4

最终解为使 $(1 + x) (1 - x) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 1$

解题步骤 5.3.2.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 5.3.3

求 $(- \infty, \infty), (- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$ 的并集。

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解题步骤 5.3.3.1

并集由包含在每一区间的所有元素组成。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5.4

因为 $f^{- 1} (x) = 2, - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$ 的定义域并不等于 $f (x) = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ 的值域，所以 $f^{- 1} (x) = 2, - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$ 并非 $f (x) = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ 的反函数。

不存在反函数

解题步骤 6

初级微积分 示例

初级微积分示例