初级微积分示例

$f (x) = 6 \log (x) - 3$

解题步骤 1

将 $f (x) = 6 \log (x) - 3$ 写为等式。

$y = 6 \log (x) - 3$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 6 \log (y) - 3$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $6 \log (y) - 3 = x$ 。

$6 \log (y) - 3 = x$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$6 \log (y) = x + 3$

解题步骤 3.3

将 $6 \log (y) = x + 3$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $6 \log (y) = x + 3$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 \log (y)}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 \log (y)}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $\log (y)$ 除以 $1$ 。

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 (1)}{6}$

解题步骤 3.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.3.1.2.2

约去公因数。

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.3.1.2.3

重写表达式。

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.4

使用对数的定义将 $\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}} = y$

解题步骤 3.5

将方程重写为 $y = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ 。

$y = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ 是否为 $f (x) = 6 \log (x) - 3$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (6 \log (x) - 3)$ 。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{6 \log (x) - 3}{6} + \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

约去 $6 \log (x) - 3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.1

从 $6 \log (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x)) - 3}{6} + \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.2.3.1.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x)) + 3 (- 1)}{6} + \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.2.3.1.3

从 $3 (2 \log (x)) + 3 (- 1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{6} + \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.2.3.1.4

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{3 (2)} + \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.2.3.1.4.2

约去公因数。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.2.3.1.4.3

重写表达式。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x) - 1}{2} + \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.2.3.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \log (x)$ 。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) - 1}{2} + \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.2.4

化简项。

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解题步骤 5.2.4.1

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) - 1 + 1}{2}}$

解题步骤 5.2.4.2

合并 $\log (x^{2}) - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.2.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) + 0}{2}}$

解题步骤 5.2.4.2.2

将 $\log (x^{2})$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2})}{2}}$

解题步骤 5.2.5

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\log (x^{2})$ 。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x)}{2}}$

解题步骤 5.2.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.1

约去公因数。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x)}{2}}$

解题步骤 5.2.6.2

用 $\log (x)$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\log (x)}$

解题步骤 5.2.7

指数函数和对数函数互为反函数。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}})$ 。

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 \log (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) - 3$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

使用对数规则把 $\frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ 移到指数外部。

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 ((\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) \log (10)) - 3$

解题步骤 5.3.3.2

$10$ 的对数底 $10$ 的值为 $1$ 。

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 ((\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) \cdot 1) - 3$

解题步骤 5.3.3.3

将 $\frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) - 3$

解题步骤 5.3.3.4

运用分配律。

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

解题步骤 5.3.3.5

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.5.1

约去公因数。

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

解题步骤 5.3.3.5.2

重写表达式。

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

解题步骤 5.3.3.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.6.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 2 (3) (\frac{1}{2}) - 3$

解题步骤 5.3.3.6.2

约去公因数。

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2})) - 3$

解题步骤 5.3.3.6.3

重写表达式。

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 3 - 3$

解题步骤 5.3.4

合并 $x + 3 - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ 为 $f (x) = 6 \log (x) - 3$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

初级微积分 示例

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