初级微积分示例

$h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$

解题步骤 1

将 $h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$ 写为等式。

$y = - \frac{4}{x^{2}}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = - \frac{4}{y^{2}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $- \frac{4}{y^{2}} = x$ 。

$- \frac{4}{y^{2}} = x$

解题步骤 3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y^{2}, 1$

解题步骤 3.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y^{2}$

解题步骤 3.3

将 $- \frac{4}{y^{2}} = x$ 中的每一项乘以 $y^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 3.3.1

将 $- \frac{4}{y^{2}} = x$ 中的每一项乘以 $y^{2}$ 。

$- \frac{4}{y^{2}} y^{2} = x y^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 $- \frac{4}{y^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 4}{y^{2}} y^{2} = x y^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 4}{y^{2}} y^{2} = x y^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3

重写表达式。

$- 4 = x y^{2}$

解题步骤 3.4

求解方程。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $x y^{2} = - 4$ 。

$x y^{2} = - 4$

解题步骤 3.4.2

将 $x y^{2} = - 4$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $x y^{2} = - 4$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{- 4}{x}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{- 4}{x}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{- 4}{x}$

解题步骤 3.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = - \frac{4}{x}$

解题步骤 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.4.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{- \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.4.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{- \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.4.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{- \frac{4}{x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{4}{x}}$

$y = \sqrt{- \frac{4}{x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{4}{x}}$

$y = \sqrt{- \frac{4}{x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{4}{x}}$

$y = \sqrt{- \frac{4}{x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{4}{x}}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $h^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$h^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{4}{x}}, - \sqrt{- \frac{4}{x}}$

解题步骤 5

验证 $h^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{4}{x}}, - \sqrt{- \frac{4}{x}}$ 是否为 $h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$ 和 $h^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{4}{x}}, - \sqrt{- \frac{4}{x}}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, 0)$

解题步骤 5.3

求 $\sqrt{- \frac{4}{x}}$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1

将 $\sqrt{- \frac{4}{x}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$- \frac{4}{x} \geq 0$

解题步骤 5.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

通过把每个因数设为 $0$ 并求解的方式求表达式从负变为正的所有值。

$x = 0$

解题步骤 5.3.2.2

求 $- \frac{4}{x}$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.2.2.1

将 $\frac{4}{x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = 0$

解题步骤 5.3.2.2.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 5.3.2.3

解由使等式成立的所有区间组成。

$x < 0$

解题步骤 5.3.3

将 $\frac{4}{x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = 0$

解题步骤 5.3.4

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, 0)$

解题步骤 5.4

求 $h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$ 的定义域。

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解题步骤 5.4.1

将 $\frac{4}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 5.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 5.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 5.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.4.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 5.5

由于 $h^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{4}{x}}, - \sqrt{- \frac{4}{x}}$ 的定义域为 $h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$ 的值域，而 $h^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{4}{x}}, - \sqrt{- \frac{4}{x}}$ 的值域又为 $h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$ 的定义域，因此 $h^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{4}{x}}, - \sqrt{- \frac{4}{x}}$ 为 $h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$ 的反函数。

$h^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{4}{x}}, - \sqrt{- \frac{4}{x}}$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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