初级微积分示例

$g (x) = 2 x^{2} + 6 x + 3$

解题步骤 1

二次函数最小值出现在 $x = - \frac{b}{2 a}$ 。如果 $a$ 是正数，则函数的最小值是 $f (- \frac{b}{2 a})$ 。

$f_{最小值}$ $x = a x^{2} + b x + c$ 在 $x = - \frac{b}{2 a}$ 出现

解题步骤 2

求 $x = - \frac{b}{2 a}$ 的值。

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解题步骤 2.1

代入 $a$ 和 $b$ 的值。

$x = - \frac{6}{2 (2)}$

解题步骤 2.2

去掉圆括号。

$x = - \frac{6}{2 (2)}$

解题步骤 2.3

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.1

从 $2 \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = - \frac{2 \cdot 3}{2 (2)}$

解题步骤 2.3.2.2

约去公因数。

$x = - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.2.3

重写表达式。

$x = - \frac{3}{2}$

解题步骤 3

计算 $f (- \frac{3}{2})$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $- \frac{3}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$g (- \frac{3}{2}) = 2 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.2.1.1.1

对 $- \frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$g (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

解题步骤 3.2.1.1.2

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$g (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

解题步骤 3.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

解题步骤 3.2.1.3

将 $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

解题步骤 3.2.1.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2^{2}}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

解题步骤 3.2.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{4}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

解题步骤 3.2.1.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.6.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2 (2)}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

解题步骤 3.2.1.6.2

约去公因数。

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2 \cdot 2}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

解题步骤 3.2.1.6.3

重写表达式。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

解题步骤 3.2.1.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.7.1

将 $- \frac{3}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 6 (\frac{- 3}{2}) + 3$

解题步骤 3.2.1.7.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 2 (3) (\frac{- 3}{2}) + 3$

解题步骤 3.2.1.7.3

约去公因数。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 3}{2})) + 3$

解题步骤 3.2.1.7.4

重写表达式。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 3 \cdot - 3 + 3$

解题步骤 3.2.1.8

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} - 9 + 3$

解题步骤 3.2.2

求公分母。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $- 9$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9}{1} + 3$

解题步骤 3.2.2.2

将 $\frac{- 9}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{2}{2} + 3$

解题步骤 3.2.2.3

将 $\frac{- 9}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + 3$

解题步骤 3.2.2.4

将 $3$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{3}{1}$

解题步骤 3.2.2.5

将 $\frac{3}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 3.2.2.6

将 $\frac{3}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.2.3

在公分母上合并分子。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.2.4

化简每一项。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 + 3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.2.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 + 6}{2}$

解题步骤 3.2.5

化简表达式。

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解题步骤 3.2.5.1

从 $9$ 中减去 $18$ 。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{- 9 + 6}{2}$

解题步骤 3.2.5.2

将 $- 9$ 和 $6$ 相加。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 3.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$g (- \frac{3}{2}) = - \frac{3}{2}$

解题步骤 3.2.6

最终答案为 $- \frac{3}{2}$ 。

$- \frac{3}{2}$

解题步骤 4

使用 $x$ 和 $y$ 的值求最小值出现的位置。

$(- \frac{3}{2}, - \frac{3}{2})$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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