初级微积分示例

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 25 x + 50$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10, \pm 25, \pm 50$

$q = \pm 1$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10, \pm 25, \pm 50$

解题步骤 3

将可能的根逐一代入多项式以求实际根。化简以验证其值是否为 $0$ ，如果是则表示这是一个根。

${(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} - 25 \cdot 2 + 50$

解题步骤 4

化简表达式。在本例中，因为表达式等于 $0$ ，所以 $x = 2$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 - 2 {(2)}^{2} - 25 \cdot 2 + 50$

解题步骤 4.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 - 2 \cdot 4 - 25 \cdot 2 + 50$

解题步骤 4.1.3

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$8 - 8 - 25 \cdot 2 + 50$

解题步骤 4.1.4

将 $- 25$ 乘以 $2$ 。

$8 - 8 - 50 + 50$

解题步骤 4.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.1

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$0 - 50 + 50$

解题步骤 4.2.2

从 $0$ 中减去 $50$ 。

$- 50 + 50$

解题步骤 4.2.3

将 $- 50$ 和 $50$ 相加。

$0$

解题步骤 5

因为 $2$ 是一个已知根，所以将多项式除以 $x - 2$ 求商多项式。然后可以用该多项式来求余下根。

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 25 x + 50}{x - 2}$

解题步骤 6

下一步，求余下多项式的根。多项式的次数将减少 $1$ 。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$2$	$1$	$- 2$	$- 25$	$50$

解题步骤 6.2

将被除数 $(1)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$2$	$1$	$- 2$	$- 25$	$50$

	$1$

解题步骤 6.3

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(2)$ 并将 $(2)$ 的结果置于被除数 $(- 2)$ 的下一项下方。

$2$	$1$	$- 2$	$- 25$	$50$
		$2$
	$1$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$2$	$1$	$- 2$	$- 25$	$50$
		$2$
	$1$	$0$

解题步骤 6.5

将结果 $(0)$ 中的最新项乘以除数 $(2)$ 并将 $(0)$ 的结果置于被除数 $(- 25)$ 的下一项下方。

$2$	$1$	$- 2$	$- 25$	$50$
		$2$	$0$
	$1$	$0$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$2$	$1$	$- 2$	$- 25$	$50$
		$2$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$

解题步骤 6.7

将结果 $(- 25)$ 中的最新项乘以除数 $(2)$ 并将 $(- 50)$ 的结果置于被除数 $(50)$ 的下一项下方。

$2$	$1$	$- 2$	$- 25$	$50$
		$2$	$0$	$- 50$
	$1$	$0$	$- 25$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$2$	$1$	$- 2$	$- 25$	$50$
		$2$	$0$	$- 50$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$

解题步骤 6.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$1 x^{2} + 0 x - 25$

解题步骤 6.10

化简商多项式。

$x^{2} - 25$

解题步骤 7

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$(x - 2) x^{2} - 5^{2}$

解题步骤 8

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$(x - 2) (x + 5) (x - 5)$

解题步骤 9

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 9.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 9.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x^{3} - 2 x^{2}) - 25 x + 50 = 0$

解题步骤 9.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x^{2} (x - 2) - 25 (x - 2) = 0$

解题步骤 9.2

通过因式分解出最大公因数 $x - 2$ 来因式分解多项式。

$(x - 2) (x^{2} - 25) = 0$

解题步骤 9.3

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$(x - 2) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

解题步骤 9.4

因数。

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解题步骤 9.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$(x - 2) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

解题步骤 9.4.2

去掉多余的括号。

$(x - 2) (x + 5) (x - 5) = 0$

解题步骤 10

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

解题步骤 11

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 11.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 12

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

解题步骤 12.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 13

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 13.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 14

最终解为使 $(x - 2) (x + 5) (x - 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, - 5, 5$

解题步骤 15

初级微积分 示例

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