初级微积分示例

$\cos (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $θ$ 。

$2 θ = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $\frac{5 π}{6}$ 。

$2 θ = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 3

将 $2 θ = \frac{5 π}{6}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.1

将 $2 θ = \frac{5 π}{6}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

解题步骤 3.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$θ = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 3.3.2

乘以 $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $\frac{5 π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$θ = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$θ = \frac{5 π}{12}$

解题步骤 4

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$2 θ = 2 π - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 5

求解 $θ$ 。

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解题步骤 5.1

化简。

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解题步骤 5.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$2 θ = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 5.1.2

组合 $2 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$2 θ = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 5.1.3

在公分母上合并分子。

$2 θ = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

解题步骤 5.1.4

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$2 θ = \frac{12 π - 5 π}{6}$

解题步骤 5.1.5

从 $12 π$ 中减去 $5 π$ 。

$2 θ = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 5.2

将 $2 θ = \frac{7 π}{6}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $2 θ = \frac{7 π}{6}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

解题步骤 5.2.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$θ = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3.2

乘以 $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.1

将 $\frac{7 π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$θ = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

解题步骤 5.2.3.2.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$θ = \frac{7 π}{12}$

解题步骤 6

求 $\cos (2 θ)$ 的周期。

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解题步骤 6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 6.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 7

$\cos (2 θ)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{7 π}{12} + π n$ ，对于任意整数 $n$

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