初级微积分示例

$f (x) = 3 x + 1$

解题步骤 1

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 3$

解题步骤 1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}$

解题步骤 2

当 $x = 1$ 时，对 $\frac{3 x + 1}{x - 1}$ 使用综合除法。

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解题步骤 2.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$1$	$3$	$1$

解题步骤 2.2

将被除数 $(3)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$1$	$3$	$1$

	$3$

解题步骤 2.3

将结果 $(3)$ 中的最新项乘以除数 $(1)$ 并将 $(3)$ 的结果置于被除数 $(1)$ 的下一项下方。

$1$	$3$	$1$
		$3$
	$3$

解题步骤 2.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$1$	$3$	$1$
		$3$
	$3$	$4$

解题步骤 2.5

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$3 + \frac{4}{x - 1}$

解题步骤 3

因为 $1 > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以 $1$ 是函数实根的上界。

上界： $1$

解题步骤 4

当 $x = - 1$ 时，对 $\frac{3 x + 1}{x + 1}$ 使用综合除法。

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解题步骤 4.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 1$	$3$	$1$

解题步骤 4.2

将被除数 $(3)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 1$	$3$	$1$

	$3$

解题步骤 4.3

将结果 $(3)$ 中的最新项乘以除数 $(- 1)$ 并将 $(- 3)$ 的结果置于被除数 $(1)$ 的下一项下方。

$- 1$	$3$	$1$
		$- 3$
	$3$

解题步骤 4.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 1$	$3$	$1$
		$- 3$
	$3$	$- 2$

解题步骤 4.5

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$3 + \frac{- 2}{x + 1}$

解题步骤 4.6

化简商多项式。

$3 - \frac{2}{x + 1}$

解题步骤 5

因为 $- 1 < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以 $- 1$ 是函数实根的下界。

下界： $- 1$

解题步骤 6

当 $x = \frac{1}{3}$ 时，对 $\frac{3 x + 1}{x - \frac{1}{3}}$ 使用综合除法。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$\frac{1}{3}$	$3$	$1$

解题步骤 6.2

将被除数 $(3)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$\frac{1}{3}$	$3$	$1$

	$3$

解题步骤 6.3

将结果 $(3)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{1}{3})$ 并将 $(1)$ 的结果置于被除数 $(1)$ 的下一项下方。

$\frac{1}{3}$	$3$	$1$
		$1$
	$3$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{1}{3}$	$3$	$1$
		$1$
	$3$	$2$

解题步骤 6.5

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$3 + \frac{2}{x - \frac{1}{3}}$

解题步骤 6.6

化简商多项式。

$3 + \frac{6}{3 x - 1}$

解题步骤 7

因为 $\frac{1}{3} > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以 $\frac{1}{3}$ 是函数实根的上界。

上界： $\frac{1}{3}$

解题步骤 8

当 $x = - \frac{1}{3}$ 时，对 $\frac{3 x + 1}{x + \frac{1}{3}}$ 使用综合除法。

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解题步骤 8.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- \frac{1}{3}$	$3$	$1$

解题步骤 8.2

将被除数 $(3)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- \frac{1}{3}$	$3$	$1$

	$3$

解题步骤 8.3

将结果 $(3)$ 中的最新项乘以除数 $(- \frac{1}{3})$ 并将 $(- 1)$ 的结果置于被除数 $(1)$ 的下一项下方。

$- \frac{1}{3}$	$3$	$1$
		$- 1$
	$3$

解题步骤 8.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{1}{3}$	$3$	$1$
		$- 1$
	$3$	$0$

解题步骤 8.5

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$3$

解题步骤 9

因为 $- \frac{1}{3} < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以 $- \frac{1}{3}$ 是函数实根的下界。

下界： $- \frac{1}{3}$

解题步骤 10

确定上界与下界。

上界： $1, \frac{1}{3}$

下界： $- 1, - \frac{1}{3}$

解题步骤 11

初级微积分 示例

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