初级微积分示例

$f (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5$

解题步骤 1

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}$

解题步骤 2

当 $x = - 1$ 时，对 $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5}{x + 1}$ 使用综合除法。

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解题步骤 2.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

解题步骤 2.2

将被除数 $(2)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

	$2$

解题步骤 2.3

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(- 1)$ 并将 $(- 2)$ 的结果置于被除数 $(- 2)$ 的下一项下方。

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$
	$2$

解题步骤 2.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$
	$2$	$- 4$

解题步骤 2.5

将结果 $(- 4)$ 中的最新项乘以除数 $(- 1)$ 并将 $(4)$ 的结果置于被除数 $(- 3)$ 的下一项下方。

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$	$4$
	$2$	$- 4$

解题步骤 2.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$	$4$
	$2$	$- 4$	$1$

解题步骤 2.7

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(- 1)$ 并将 $(- 1)$ 的结果置于被除数 $(- 5)$ 的下一项下方。

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$	$4$	$- 1$
	$2$	$- 4$	$1$

解题步骤 2.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$	$4$	$- 1$
	$2$	$- 4$	$1$	$- 6$

解题步骤 2.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$2 x^{2} + - 4 x + 1 + \frac{- 6}{x + 1}$

解题步骤 2.10

化简商多项式。

$2 x^{2} - 4 x + 1 - \frac{6}{x + 1}$

解题步骤 3

因为 $- 1 < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以 $- 1$ 是函数实根的下界。

下界： $- 1$

解题步骤 4

当 $x = 5$ 时，对 $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5}{x - 5}$ 使用综合除法。

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解题步骤 4.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

解题步骤 4.2

将被除数 $(2)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

	$2$

解题步骤 4.3

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(5)$ 并将 $(10)$ 的结果置于被除数 $(- 2)$ 的下一项下方。

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$
	$2$

解题步骤 4.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$
	$2$	$8$

解题步骤 4.5

将结果 $(8)$ 中的最新项乘以除数 $(5)$ 并将 $(40)$ 的结果置于被除数 $(- 3)$ 的下一项下方。

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$	$40$
	$2$	$8$

解题步骤 4.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$	$40$
	$2$	$8$	$37$

解题步骤 4.7

将结果 $(37)$ 中的最新项乘以除数 $(5)$ 并将 $(185)$ 的结果置于被除数 $(- 5)$ 的下一项下方。

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$	$40$	$185$
	$2$	$8$	$37$

解题步骤 4.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$	$40$	$185$
	$2$	$8$	$37$	$180$

解题步骤 4.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$2 x^{2} + 8 x + 37 + \frac{180}{x - 5}$

解题步骤 5

因为 $5 > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以 $5$ 是函数实根的上界。

上界： $5$

解题步骤 6

当 $x = - 5$ 时，对 $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5}{x + 5}$ 使用综合除法。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

解题步骤 6.2

将被除数 $(2)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

	$2$

解题步骤 6.3

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(- 5)$ 并将 $(- 10)$ 的结果置于被除数 $(- 2)$ 的下一项下方。

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$
	$2$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$
	$2$	$- 12$

解题步骤 6.5

将结果 $(- 12)$ 中的最新项乘以除数 $(- 5)$ 并将 $(60)$ 的结果置于被除数 $(- 3)$ 的下一项下方。

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$	$60$
	$2$	$- 12$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$	$60$
	$2$	$- 12$	$57$

解题步骤 6.7

将结果 $(57)$ 中的最新项乘以除数 $(- 5)$ 并将 $(- 285)$ 的结果置于被除数 $(- 5)$ 的下一项下方。

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$	$60$	$- 285$
	$2$	$- 12$	$57$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$	$60$	$- 285$
	$2$	$- 12$	$57$	$- 290$

解题步骤 6.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$2 x^{2} + - 12 x + 57 + \frac{- 290}{x + 5}$

解题步骤 6.10

化简商多项式。

$2 x^{2} - 12 x + 57 - \frac{290}{x + 5}$

解题步骤 7

因为 $- 5 < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以 $- 5$ 是函数实根的下界。

下界： $- 5$

解题步骤 8

当 $x = \frac{5}{2}$ 时，对 $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5}{x - \frac{5}{2}}$ 使用综合除法。

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解题步骤 8.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

解题步骤 8.2

将被除数 $(2)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

	$2$

解题步骤 8.3

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{5}{2})$ 并将 $(5)$ 的结果置于被除数 $(- 2)$ 的下一项下方。

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$
	$2$

解题步骤 8.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$
	$2$	$3$

解题步骤 8.5

将结果 $(3)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{5}{2})$ 并将 $(\frac{15}{2})$ 的结果置于被除数 $(- 3)$ 的下一项下方。

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$	$\frac{15}{2}$
	$2$	$3$

解题步骤 8.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$	$\frac{15}{2}$
	$2$	$3$	$\frac{9}{2}$

解题步骤 8.7

将结果 $(\frac{9}{2})$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{5}{2})$ 并将 $(\frac{45}{4})$ 的结果置于被除数 $(- 5)$ 的下一项下方。

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$	$\frac{15}{2}$	$\frac{45}{4}$
	$2$	$3$	$\frac{9}{2}$

解题步骤 8.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$	$\frac{15}{2}$	$\frac{45}{4}$
	$2$	$3$	$\frac{9}{2}$	$\frac{25}{4}$

解题步骤 8.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$2 x^{2} + 3 x + \frac{9}{2} + \frac{\frac{25}{4}}{x - \frac{5}{2}}$

解题步骤 8.10

化简商多项式。

$2 x^{2} + 3 x + \frac{9}{2} + \frac{25}{2 (2 x - 5)}$

解题步骤 9

因为 $\frac{5}{2} > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以 $\frac{5}{2}$ 是函数实根的上界。

上界： $\frac{5}{2}$

解题步骤 10

当 $x = - \frac{5}{2}$ 时，对 $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5}{x + \frac{5}{2}}$ 使用综合除法。

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解题步骤 10.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

解题步骤 10.2

将被除数 $(2)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

	$2$

解题步骤 10.3

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(- \frac{5}{2})$ 并将 $(- 5)$ 的结果置于被除数 $(- 2)$ 的下一项下方。

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$
	$2$

解题步骤 10.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$
	$2$	$- 7$

解题步骤 10.5

将结果 $(- 7)$ 中的最新项乘以除数 $(- \frac{5}{2})$ 并将 $(\frac{35}{2})$ 的结果置于被除数 $(- 3)$ 的下一项下方。

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{35}{2}$
	$2$	$- 7$

解题步骤 10.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{35}{2}$
	$2$	$- 7$	$\frac{29}{2}$

解题步骤 10.7

将结果 $(\frac{29}{2})$ 中的最新项乘以除数 $(- \frac{5}{2})$ 并将 $(- \frac{145}{4})$ 的结果置于被除数 $(- 5)$ 的下一项下方。

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{35}{2}$	$- \frac{145}{4}$
	$2$	$- 7$	$\frac{29}{2}$

解题步骤 10.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{35}{2}$	$- \frac{145}{4}$
	$2$	$- 7$	$\frac{29}{2}$	$- \frac{165}{4}$

解题步骤 10.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$2 x^{2} + - 7 x + \frac{29}{2} + \frac{- \frac{165}{4}}{x + \frac{5}{2}}$

解题步骤 10.10

化简商多项式。

$2 x^{2} - 7 x + \frac{29}{2} - \frac{165}{2 (2 x + 5)}$

解题步骤 11

因为 $- \frac{5}{2} < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以 $- \frac{5}{2}$ 是函数实根的下界。

下界： $- \frac{5}{2}$

解题步骤 12

确定上界与下界。

上界： $5, \frac{5}{2}$

下界： $- 1, - 5, - \frac{5}{2}$

解题步骤 13

初级微积分 示例

初级微积分示例