初级微积分示例

$f (x) = \frac{4 x - 2}{3 x}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{4 (x + h) - 2}{3 (x + h)}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.1.1

从 $4 (x + h) - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.1.1

从 $4 (x + h)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) - 2}{3 (x + h)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) + 2 (- 1)}{3 (x + h)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3

从 $2 (2 (x + h)) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - 1)}{3 (x + h)}$

解题步骤 2.1.2.1.2

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$ 。

$\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

$f (x) = \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$

$f (x + h) = \frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

$f (x) = \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)} - (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

要将 $\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}}{h}$

解题步骤 4.1.2

要将 $- \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + h}{x + h}$ 。

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 (2 x - 1)}{3 x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

解题步骤 4.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $3 (x + h) x$ 的形式。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x}{3 (x + h) x} - \frac{2 (2 x - 1)}{3 x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $\frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$ 乘以 $\frac{x + h}{x + h}$ 。

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x}{3 (x + h) x} - \frac{2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.3.3

重新排序 $3 (x + h) x$ 的因式。

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x}{3 x (x + h)} - \frac{2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x - 2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5

以因式分解的形式重写 $\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x - 2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}$ 。

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解题步骤 4.1.5.1

从 $2 (2 x + 2 h - 1) x - 2 (2 x - 1) (x + h)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.1.5.1.1

从 $2 (2 x + 2 h - 1) x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 ((2 x + 2 h - 1) x) - 2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.1.2

从 $- 2 (2 x - 1) (x + h)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 ((2 x + 2 h - 1) x) + 2 (- (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.1.3

从 $2 ((2 x + 2 h - 1) x) + 2 (- (2 x - 1) (x + h))$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 ((2 x + 2 h - 1) x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2

运用分配律。

$\frac{\frac{2 (2 x \cdot x + 2 h x - 1 x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3

化简。

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解题步骤 4.1.5.3.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.5.3.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{2 (2 (x \cdot x) + 2 h x - 1 x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - 1 x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.4

运用分配律。

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x + (- (2 x) - - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x + (- 2 x - - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x + (- 2 x + 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.7

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 x + 1) (x + h)$ 。

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解题步骤 4.1.5.7.1

运用分配律。

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x (x + h) + 1 (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.7.2

运用分配律。

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x \cdot x - 2 x h + 1 (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.7.3

运用分配律。

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x \cdot x - 2 x h + 1 x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.8

化简每一项。

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解题步骤 4.1.5.8.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.5.8.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 (x \cdot x) - 2 x h + 1 x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.8.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x^{2} - 2 x h + 1 x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.8.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x^{2} - 2 x h + x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.8.3

将 $h$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x^{2} - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.9

从 $2 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{\frac{2 (2 h x - x + 0 - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.10

将 $2 h x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{2 (2 h x - x - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.11

从 $2 h x$ 中减去 $2 x h$ 。

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解题步骤 4.1.5.11.1

移动 $h$ 。

$\frac{\frac{2 (- x + 2 x h - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.11.2

从 $2 x h$ 中减去 $2 x h$ 。

$\frac{\frac{2 (- x + 0 + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.12

将 $- x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{2 (- x + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.13

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{\frac{2 (0 + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.14

将 $0$ 和 $h$ 相加。

$\frac{\frac{2 h}{3 x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2 h}{3 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从 $2 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h \cdot 2}{3 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

$\frac{h \cdot 2}{3 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.3

重写表达式。

$\frac{2}{3 x (x + h)}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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