初级微积分示例

$f (x) = \frac{2 x}{x - 1}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{(x + h) - 1}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

去掉圆括号。

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $\frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$ 。

$\frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$

$f (x) = \frac{2 x}{x - 1}$

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$

$f (x) = \frac{2 x}{x - 1}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h - 1} - (\frac{2 x}{x - 1})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

要将 $\frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$\frac{\frac{2 (x + h)}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x}{x - 1}}{h}$

解题步骤 4.1.2

要将 $- \frac{2 x}{x - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ 。

$\frac{\frac{2 (x + h)}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

解题步骤 4.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + h - 1) (x - 1)$ 的形式。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $\frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$ 乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$\frac{\frac{2 (x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $\frac{2 x}{x - 1}$ 乘以 $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ 。

$\frac{\frac{2 (x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{2 x (x + h - 1)}{(x - 1) (x + h - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.3.3

重新排序 $(x - 1) (x + h - 1)$ 的因式。

$\frac{\frac{2 (x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{2 x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 (x + h) (x - 1) - 2 x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5

以因式分解的形式重写 $\frac{2 (x + h) (x - 1) - 2 x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$ 。

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解题步骤 4.1.5.1

从 $2 (x + h) (x - 1) - 2 x (x + h - 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.1.5.1.1

从 $2 (x + h) (x - 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 ((x + h) (x - 1)) - 2 x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.1.2

从 $- 2 x (x + h - 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 ((x + h) (x - 1)) + 2 (- x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.1.3

从 $2 ((x + h) (x - 1)) + 2 (- x (x + h - 1))$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 ((x + h) (x - 1) - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x - 1)$ 。

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解题步骤 4.1.5.2.1

运用分配律。

$\frac{\frac{2 (x (x - 1) + h (x - 1) - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.2

运用分配律。

$\frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 + h (x - 1) - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.3

运用分配律。

$\frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3

化简每一项。

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解题步骤 4.1.5.3.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.4

将 $- 1$ 移到 $h$ 的左侧。

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - 1 \cdot h - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.5

将 $- 1 h$ 重写为 $- h$ 。

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.4

运用分配律。

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x \cdot x - x h - x \cdot - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.5

化简。

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解题步骤 4.1.5.5.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.5.5.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - (x \cdot x) - x h - x \cdot - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.5.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h - x \cdot - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.5.2

乘以 $- x \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.1.5.5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h + 1 x)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.5.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h + x)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{\frac{2 (- x + h x - h + 0 - x h + x)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.7

将 $- x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{2 (- x + h x - h - x h + x)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.8

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{\frac{2 (h x - h - x h + 0)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.9

将 $h x - h - x h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{2 (h x - h - x h)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.10

从 $h x$ 中减去 $x h$ 。

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解题步骤 4.1.5.10.1

将 $h$ 和 $x$ 重新排序。

$\frac{\frac{2 (- h + x h - x h)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.10.2

从 $x h$ 中减去 $x h$ 。

$\frac{\frac{2 (- h + 0)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.11

将 $- h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{2 \cdot - 1 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.12

合并指数。

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解题步骤 4.1.5.12.1

提取负因数。

$\frac{\frac{- (2 h)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.12.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- 2 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{2 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{2 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

将 $- \frac{2 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 2 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.2

从 $- 2 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h \cdot - 2}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.3

约去公因数。

$\frac{h \cdot - 2}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.4

重写表达式。

$\frac{- 2}{(x + h - 1) (x - 1)}$

解题步骤 4.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{(x + h - 1) (x - 1)}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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