初级微积分示例

$f (x) = - 2 t^{2} + 4 t + 1$

解题步骤 1

将 $f (x) = - 2 t^{2} + 4 t + 1$ 写为等式。

$y = - 2 t^{2} + 4 t + 1$

解题步骤 2

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 2.1

对 $- 2 t^{2} + 4 t + 1$ 进行配方。

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解题步骤 2.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 2$

$b = 4$

$c = 1$

解题步骤 2.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{4}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.1.3.2.1

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.3.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.1.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (- 2)}$

解题步骤 2.1.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.1.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{2}{- 2}$

解题步骤 2.1.3.2.2

约去 $2$ 和 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.3.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 (1)}{- 2}$

解题步骤 2.1.3.2.2.2

移动 $\frac{1}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.1.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$d = - 1$

解题步骤 2.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 2.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 2}$

解题步骤 2.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.2.1.1

约去 $4^{2}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.2.1.1.1

从 $4^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 2}$

解题步骤 2.1.4.2.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.4.2.1.1.2.1

从 $4 \cdot - 2$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- 2)}$

解题步骤 2.1.4.2.1.1.2.2

约去公因数。

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 2}$

解题步骤 2.1.4.2.1.1.2.3

重写表达式。

$e = 1 - \frac{4}{- 2}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2

约去 $4$ 和 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.2.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$e = 1 - \frac{2 (2)}{- 2}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2.2

移动 $\frac{2}{- 1}$ 中分母的负号。

$e = 1 - (- 1 \cdot 2)$

解题步骤 2.1.4.2.1.3

乘以 $- (- 1 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$e = 1 - - 2$

解题步骤 2.1.4.2.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$e = 1 + 2$

解题步骤 2.1.4.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$e = 3$

解题步骤 2.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- 2 {(t - 1)}^{2} + 3$ 。

$- 2 {(t - 1)}^{2} + 3$

解题步骤 2.2

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = - 2 {(t - 1)}^{2} + 3$

解题步骤 3

使用顶点式 $y = a {(t - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = - 2$

$h = 1$

$k = 3$

解题步骤 4

因为 $a$ 的值是负数，所以该抛物线开口向下。

开口向下

解题步骤 5

求顶点 $(h, k)$ 。

$(1, 3)$

解题步骤 6

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 6.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 6.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{- 8}$

解题步骤 6.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{8}$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(1, \frac{23}{8})$

解题步骤 8

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$t = 1$

解题步骤 9

求准线。

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解题步骤 9.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 9.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = \frac{25}{8}$

解题步骤 10

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(1, 3)$

焦点： $(1, \frac{23}{8})$

对称轴： $t = 1$

准线： $y = \frac{25}{8}$

解题步骤 11

初级微积分 示例

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