初级微积分示例

$x^{4} + y^{3} = 264$ , $3 x^{4} + 5 y^{3} = 808$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

将 $x^{4}$ 和 $y^{3}$ 重新排序。

$y^{3} + x^{4} = 264$

$3 x^{4} + 5 y^{3} = 808$

$y^{3} + x^{4} = 264$

$3 x^{4} + 5 y^{3} = 808$

解题步骤 2

化简左边。

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解题步骤 2.1

将 $3 x^{4}$ 和 $5 y^{3}$ 重新排序。

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

$y^{3} + x^{4} = 264$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

$y^{3} + x^{4} = 264$

解题步骤 3

将每个方程乘以使 $x^{4}$ 的系数取反的数值。

$- 3 \cdot (y^{3} + x^{4}) = (- 3) (264)$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简左边。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$- 3 y^{3} - 3 x^{4} = (- 3) (264)$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

$- 3 y^{3} - 3 x^{4} = (- 3) (264)$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

解题步骤 4.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 3$ 乘以 $264$ 。

$- 3 y^{3} - 3 x^{4} = - 792$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

$- 3 y^{3} - 3 x^{4} = - 792$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

$- 3 y^{3} - 3 x^{4} = - 792$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

解题步骤 5

将两个方程相加，从方程组中消去 $x^{4}$ 。

	$-$	$3$	$y^{3}$	$-$	$3$	$x^{4}$	$=$	$-$	$7$	$9$	$2$
$+$		$5$	$y^{3}$	$+$	$3$	$x^{4}$	$=$		$8$	$0$	$8$
		$2$	$y^{3}$				$=$			$1$	$6$

解题步骤 6

将 $2 y^{3} = 16$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将 $2 y^{3} = 16$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{16}{2}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{16}{2}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $y^{3}$ 除以 $1$ 。

$y^{3} = \frac{16}{2}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

用 $16$ 除以 $2$ 。

$y^{3} = 8$

解题步骤 7

将 $y^{3}$ 求得的值代入其中一个原始方程中，然后求解 $x^{4}$ 。

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解题步骤 7.1

将 $y^{3}$ 求得的值代入其中一个原始方程中以求解 $x^{4}$ 。

$- 3 \cdot 8 - 3 x^{4} = - 792$

解题步骤 7.2

将 $- 3$ 乘以 $8$ 。

$- 24 - 3 x^{4} = - 792$

解题步骤 7.3

将所有不包含 $x^{4}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.3.1

在等式两边都加上 $24$ 。

$- 3 x^{4} = - 792 + 24$

解题步骤 7.3.2

将 $- 792$ 和 $24$ 相加。

$- 3 x^{4} = - 768$

解题步骤 7.4

将 $- 3 x^{4} = - 768$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 7.4.1

将 $- 3 x^{4} = - 768$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 768}{- 3}$

解题步骤 7.4.2

化简左边。

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解题步骤 7.4.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 768}{- 3}$

解题步骤 7.4.2.1.2

用 $x^{4}$ 除以 $1$ 。

$x^{4} = \frac{- 768}{- 3}$

解题步骤 7.4.3

化简右边。

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解题步骤 7.4.3.1

用 $- 768$ 除以 $- 3$ 。

$x^{4} = 256$

解题步骤 8

这是独立方程组的最终解。

$y^{3} = 8$

$x^{4} = 256$

解题步骤 9

从等式两边同时减去 $8$ 。

$y^{3} - 8 = 0$

$x^{4} = 256$

解题步骤 10

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 10.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$y^{3} - 2^{3} = 0$

$x^{4} = 256$

解题步骤 10.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 2$ 。

$(y - 2) (y^{2} + y \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

$x^{4} = 256$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$(y - 2) (y^{2} + 2 \cdot y + 2^{2}) = 0$

$x^{4} = 256$

解题步骤 10.3.2

将 $2$ 乘以 $y$ 。

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 2^{2}) = 0$

$x^{4} = 256$

解题步骤 10.3.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$

$x^{4} = 256$

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$

$x^{4} = 256$

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$

$x^{4} = 256$

解题步骤 11

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$y - 2 = 0$

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

$x^{4} = 256$

解题步骤 12

将 $y - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 12.1

将 $y - 2$ 设为等于 $0$ 。

$y - 2 = 0$

$x^{4} = 256$

解题步骤 12.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$y = 2$

$x^{4} = 256$

$y = 2$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13

将 $y^{2} + 2 y + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 13.1

将 $y^{2} + 2 y + 4$ 设为等于 $0$ 。

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2

求解 $y$ 的 $y^{2} + 2 y + 4 = 0$ 。

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解题步骤 13.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 2$ 和 $c = 4$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.3

化简。

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解题步骤 13.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 13.2.3.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 13.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.3.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.3.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.3.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 13.2.3.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.3.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.3.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.3.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 13.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 13.2.4.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 13.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.4.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.4.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.4.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 13.2.4.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.4.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.4.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.4.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = - 1 + i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

$y = - 1 + i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 13.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 13.2.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 13.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.5.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.5.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.5.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 13.2.5.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.5.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.5.1.8

从根式下提出各项。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.5.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

$y = - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 13.2.6

最终答案为两个解的组合。

$y = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

$y = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

$y = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 14

最终解为使 $(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$ 成立的所有值。

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

解题步骤 15

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{256}$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 16

化简 $\pm \sqrt[4]{256}$ 。

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解题步骤 16.1

将 $256$ 重写为 $4^{4}$ 。

$x = \pm \sqrt[4]{4^{4}}$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 16.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x = \pm 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 17

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 17.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 17.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 17.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 4, - 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x = 4, - 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 18

最终的结果是 $x$ 的所有值的组合和全部 $y$ 的值。

$(4, 2), (4, - 1 + i \sqrt{3}), (4, - 1 - i \sqrt{3}), (- 4, 2), (- 4, - 1 + i \sqrt{3}), (- 4, - 1 - i \sqrt{3})$

解题步骤 19

初级微积分 示例

初级微积分示例