初级微积分示例

$y = x^{2} - 3 x - 4$ , $y = 5 x + 11$

解题步骤 1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$x^{2} - 3 x - 4 = 5 x + 11$

解题步骤 2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 3 x - 4 = 5 x + 11$ 。

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解题步骤 2.1

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 2.1.1

从等式两边同时减去 $5 x$ 。

$x^{2} - 3 x - 4 - 5 x = 11$

解题步骤 2.1.2

从 $- 3 x$ 中减去 $5 x$ 。

$x^{2} - 8 x - 4 = 11$

解题步骤 2.2

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 2.2.1

从等式两边同时减去 $11$ 。

$x^{2} - 8 x - 4 - 11 = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $- 4$ 中减去 $11$ 。

$x^{2} - 8 x - 15 = 0$

解题步骤 2.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 5 x + 11$

解题步骤 2.4

将 $a = 1$ 、 $b = - 8$ 和 $c = - 15$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 15)}}{2 \cdot 1} + y = 5 x + 11$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ 。

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解题步骤 2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 15$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 60}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.3

将 $64$ 和 $60$ 相加。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.4

将 $124$ 重写为 $2^{2} \cdot 31$ 。

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解题步骤 2.5.1.4.1

从 $124$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2}$

解题步骤 2.5.3

化简 $\frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2}$ 。

$x = 4 \pm \sqrt{31}$

解题步骤 2.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ 。

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解题步骤 2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 15$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 60}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.3

将 $64$ 和 $60$ 相加。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.4

将 $124$ 重写为 $2^{2} \cdot 31$ 。

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解题步骤 2.6.1.4.1

从 $124$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2}$

解题步骤 2.6.3

化简 $\frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2}$ 。

$x = 4 \pm \sqrt{31}$

解题步骤 2.6.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 4 + \sqrt{31}$

解题步骤 2.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.7.1

化简分子。

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解题步骤 2.7.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ 。

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解题步骤 2.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 15$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 60}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.3

将 $64$ 和 $60$ 相加。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.4

将 $124$ 重写为 $2^{2} \cdot 31$ 。

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解题步骤 2.7.1.4.1

从 $124$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2}$

解题步骤 2.7.3

化简 $\frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2}$ 。

$x = 4 \pm \sqrt{31}$

解题步骤 2.7.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 4 - \sqrt{31}$

解题步骤 2.8

最终答案为两个解的组合。

$x = 4 + \sqrt{31}, 4 - \sqrt{31}$

解题步骤 3

当 $x = 4 + \sqrt{31}$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 3.1

代入 $4 + \sqrt{31}$ 替换 $x$ 。

$y = 5 (4 + \sqrt{31}) + 11$

解题步骤 3.2

化简 $5 (4 + \sqrt{31}) + 11$ 。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

运用分配律。

$y = 5 \cdot 4 + 5 \sqrt{31} + 11$

解题步骤 3.2.1.2

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$y = 20 + 5 \sqrt{31} + 11$

解题步骤 3.2.2

将 $20$ 和 $11$ 相加。

$y = 31 + 5 \sqrt{31}$

解题步骤 4

当 $x = 4 - \sqrt{31}$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $4 - \sqrt{31}$ 替换 $x$ 。

$y = 5 (4 - \sqrt{31}) + 11$

解题步骤 4.2

化简 $5 (4 - \sqrt{31}) + 11$ 。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

运用分配律。

$y = 5 \cdot 4 + 5 (- \sqrt{31}) + 11$

解题步骤 4.2.1.2

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$y = 20 + 5 (- \sqrt{31}) + 11$

解题步骤 4.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$y = 20 - 5 \sqrt{31} + 11$

解题步骤 4.2.2

将 $20$ 和 $11$ 相加。

$y = 31 - 5 \sqrt{31}$

解题步骤 5

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(4 + \sqrt{31}, 31 + 5 \sqrt{31})$

$(4 - \sqrt{31}, 31 - 5 \sqrt{31})$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

点形式：

$(4 + \sqrt{31}, 31 + 5 \sqrt{31}), (4 - \sqrt{31}, 31 - 5 \sqrt{31})$

方程形式：

$x = 4 + \sqrt{31}, y = 31 + 5 \sqrt{31}$

$x = 4 - \sqrt{31}, y = 31 - 5 \sqrt{31}$

解题步骤 7

初级微积分 示例

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