初级微积分示例

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$ , $x^{2} - y^{2} = - 28$

解题步骤 1

在 $x^{2} - y^{2} = - 28$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $y^{2}$ 。

$x^{2} = - 28 + y^{2}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

解题步骤 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

解题步骤 1.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

解题步骤 1.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

解题步骤 1.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

解题步骤 2

求解方程组 $x = \sqrt{- 28 + y^{2}}, x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$ 。

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解题步骤 2.1

将每个方程中所有出现的 $x$ 替换成 $\sqrt{- 28 + y^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用 $\sqrt{- 28 + y^{2}}$ 替换 $x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$ 中所有出现的 $x$ .

${(\sqrt{- 28 + y^{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

解题步骤 2.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.1.2.1

化简 ${(\sqrt{- 28 + y^{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.1

将 ${\sqrt{- 28 + y^{2}}}^{2}$ 重写为 $- 28 + y^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{- 28 + y^{2}}$ 重写成 ${(- 28 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(- 28 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

解题步骤 2.1.2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(- 28 + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

${(- 28 + y^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

解题步骤 2.1.2.1.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.1.4.1

约去公因数。

${(- 28 + y^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

解题步骤 2.1.2.1.1.4.2

重写表达式。

$(- 28 + y^{2}) + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$(- 28 + y^{2}) + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

解题步骤 2.1.2.1.1.5

化简。

$- 28 + y^{2} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + y^{2} + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

解题步骤 2.1.2.1.2

合并 $- 28 + y^{2} + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y - y^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 2.1.2.1.2.1

从 $y^{2}$ 中减去 $y^{2}$ 。

$- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y + 0 = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

解题步骤 2.1.2.1.2.2

将 $- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y$ 和 $0$ 相加。

$- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

解题步骤 2.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$y = 8$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

解题步骤 2.3

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $8$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用 $8$ 替换 $x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$ 中所有出现的 $y$ .

$x = \sqrt{- 28 + {(8)}^{2}}$

$y = 8$

解题步骤 2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.1

化简 $\sqrt{- 28 + {(8)}^{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \sqrt{- 28 + 64}$

$y = 8$

解题步骤 2.3.2.1.2

将 $- 28$ 和 $64$ 相加。

$x = \sqrt{36}$

$y = 8$

解题步骤 2.3.2.1.3

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$x = \sqrt{6^{2}}$

$y = 8$

解题步骤 2.3.2.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = 6$

$y = 8$

$x = 6$

$y = 8$

$x = 6$

$y = 8$

$x = 6$

$y = 8$

$x = 6$

$y = 8$

解题步骤 3

求解方程组 $x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}, x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$ 。

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解题步骤 3.1

将每个方程中所有出现的 $x$ 替换成 $- \sqrt{- 28 + y^{2}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

使用 $- \sqrt{- 28 + y^{2}}$ 替换 $x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$ 中所有出现的 $x$ .

${(- \sqrt{- 28 + y^{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

化简 ${(- \sqrt{- 28 + y^{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1.1

对 $- \sqrt{- 28 + y^{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{2} {\sqrt{- 28 + y^{2}}}^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 {\sqrt{- 28 + y^{2}}}^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.1.3

将 ${\sqrt{- 28 + y^{2}}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

${\sqrt{- 28 + y^{2}}}^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.1.4

将 ${\sqrt{- 28 + y^{2}}}^{2}$ 重写为 $- 28 + y^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{- 28 + y^{2}}$ 重写成 ${(- 28 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(- 28 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(- 28 + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

${(- 28 + y^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.1.4.4.1

约去公因数。

${(- 28 + y^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.1.4.4.2

重写表达式。

$(- 28 + y^{2}) + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$(- 28 + y^{2}) + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.1.4.5

化简。

$- 28 + y^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + y^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.1.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 28 + y^{2} - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + y^{2} - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.2

合并 $- 28 + y^{2} - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y - y^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.1.2.1.2.1

从 $y^{2}$ 中减去 $y^{2}$ 。

$- 28 - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y + 0 = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.2.2

将 $- 28 - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y$ 和 $0$ 相加。