初级微积分示例

$y = \sqrt{144 - x^{2}}$ , $y = 16 - x$

解题步骤 1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$\sqrt{144 - x^{2}} = 16 - x$

解题步骤 2

求解 $x$ 的 $\sqrt{144 - x^{2}} = 16 - x$ 。

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解题步骤 2.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{144 - x^{2}}}^{2} = {(16 - x)}^{2}$

解题步骤 2.2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{144 - x^{2}}$ 重写成 ${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(16 - x)}^{2}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

化简 ${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

将 ${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(16 - x)}^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(16 - x)}^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(144 - x^{2})}^{1} = {(16 - x)}^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.2

化简。

$144 - x^{2} = {(16 - x)}^{2}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

化简 ${(16 - x)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1.1

将 ${(16 - x)}^{2}$ 重写为 $(16 - x) (16 - x)$ 。

$144 - x^{2} = (16 - x) (16 - x)$

解题步骤 2.2.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(16 - x) (16 - x)$ 。

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解题步骤 2.2.3.1.2.1

运用分配律。

$144 - x^{2} = 16 (16 - x) - x (16 - x)$

解题步骤 2.2.3.1.2.2

运用分配律。

$144 - x^{2} = 16 \cdot 16 + 16 (- x) - x (16 - x)$

解题步骤 2.2.3.1.2.3

运用分配律。

$144 - x^{2} = 16 \cdot 16 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)$

解题步骤 2.2.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.2.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.3.1.3.1.1

将 $16$ 乘以 $16$ 。

$144 - x^{2} = 256 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)$

解题步骤 2.2.3.1.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - x \cdot 16 - x (- x)$

解题步骤 2.2.3.1.3.1.3

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - x (- x)$

解题步骤 2.2.3.1.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

解题步骤 2.2.3.1.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.3.1.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

解题步骤 2.2.3.1.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

解题步骤 2.2.3.1.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x + 1 x^{2}$

解题步骤 2.2.3.1.3.1.7

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x + x^{2}$

解题步骤 2.2.3.1.3.2

从 $- 16 x$ 中减去 $16 x$ 。

$144 - x^{2} = 256 - 32 x + x^{2}$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$256 - 32 x + x^{2} = 144 - x^{2}$

解题步骤 2.3.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $x^{2}$ 。

$256 - 32 x + x^{2} + x^{2} = 144$

解题步骤 2.3.2.2

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$256 - 32 x + 2 x^{2} = 144$

解题步骤 2.3.3

从等式两边同时减去 $144$ 。

$256 - 32 x + 2 x^{2} - 144 = 0$

解题步骤 2.3.4

从 $256$ 中减去 $144$ 。

$- 32 x + 2 x^{2} + 112 = 0$

解题步骤 2.3.5

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.3.5.1

从 $- 32 x + 2 x^{2} + 112$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.3.5.1.1

从 $- 32 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 16 x) + 2 x^{2} + 112 = 0$

解题步骤 2.3.5.1.2

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 16 x) + 2 (x^{2}) + 112 = 0$

解题步骤 2.3.5.1.3

从 $112$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 16 x) + 2 x^{2} + 2 \cdot 56 = 0$

解题步骤 2.3.5.1.4

从 $2 (- 16 x) + 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 16 x + x^{2}) + 2 \cdot 56 = 0$

解题步骤 2.3.5.1.5

从 $2 (- 16 x + x^{2}) + 2 \cdot 56$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 16 x + x^{2} + 56) = 0$

解题步骤 2.3.5.2

重新排序项。

$2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$

解题步骤 2.3.6

将 $2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 16 x + 56)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.6.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.6.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (x^{2} - 16 x + 56)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.6.2.1.2

用 $x^{2} - 16 x + 56$ 除以 $1$ 。

$x^{2} - 16 x + 56 = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.6.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.6.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x^{2} - 16 x + 56 = 0$

解题步骤 2.3.7

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 16 - x$

解题步骤 2.3.8

将 $a = 1$ 、 $b = - 16$ 和 $c = 56$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 56)}}{2 \cdot 1} + y = 16 - x$

解题步骤 2.3.9

化简。

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解题步骤 2.3.9.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.9.1.1

对 $- 16$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.9.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ 。

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解题步骤 2.3.9.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.9.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $56$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.9.1.3

从 $256$ 中减去 $224$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.9.1.4

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.3.9.1.4.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.9.1.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.9.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.9.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.3.9.3

化简 $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ 。

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

解题步骤 2.3.10

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.3.10.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.10.1.1

对 $- 16$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.10.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ 。

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解题步骤 2.3.10.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.10.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $56$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.10.1.3

从 $256$ 中减去 $224$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.10.1.4

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.3.10.1.4.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.10.1.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.10.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.10.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.3.10.3

化简 $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ 。

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

解题步骤 2.3.10.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 8 + 2 \sqrt{2}$

解题步骤 2.3.11

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.3.11.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.11.1.1

对 $- 16$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.11.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ 。

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解题步骤 2.3.11.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.11.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $56$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.11.1.3

从 $256$ 中减去 $224$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.11.1.4

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.3.11.1.4.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.11.1.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.11.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.11.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.3.11.3

化简 $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ 。

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

解题步骤 2.3.11.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 8 - 2 \sqrt{2}$

解题步骤 2.3.12

最终答案为两个解的组合。

$x = 8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2}$

解题步骤 3

当 $x = 8 + 2 \sqrt{2}$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 3.1

代入 $8 + 2 \sqrt{2}$ 替换 $x$ 。

$y = 16 - (8 + 2 \sqrt{2})$

解题步骤 3.2

化简 $16 - (8 + 2 \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

运用分配律。

$y = 16 - 1 \cdot 8 - (2 \sqrt{2})$

解题步骤 3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$y = 16 - 8 - (2 \sqrt{2})$

解题步骤 3.2.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = 16 - 8 - 2 \sqrt{2}$

解题步骤 3.2.2

从 $16$ 中减去 $8$ 。

$y = 8 - 2 \sqrt{2}$

解题步骤 4

当 $x = 8 - 2 \sqrt{2}$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $8 - 2 \sqrt{2}$ 替换 $x$ 。

$y = 16 - (8 - 2 \sqrt{2})$

解题步骤 4.2

化简 $16 - (8 - 2 \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

运用分配律。

$y = 16 - 1 \cdot 8 - (- 2 \sqrt{2})$

解题步骤 4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$y = 16 - 8 - (- 2 \sqrt{2})$

解题步骤 4.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = 16 - 8 + 2 \sqrt{2}$

解题步骤 4.2.2

从 $16$ 中减去 $8$ 。

$y = 8 + 2 \sqrt{2}$

解题步骤 5

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2})$

$(8 - 2 \sqrt{2}, 8 + 2 \sqrt{2})$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

点形式：

$(8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2}), (8 - 2 \sqrt{2}, 8 + 2 \sqrt{2})$

方程形式：

$x = 8 + 2 \sqrt{2}, y = 8 - 2 \sqrt{2}$

$x = 8 - 2 \sqrt{2}, y = 8 + 2 \sqrt{2}$

解题步骤 7

初级微积分 示例

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