初级微积分示例

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ , $y = {(x - 3)}^{2}$

解题步骤 1

化简 ${(x - 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

将 ${(x - 3)}^{2}$ 重写为 $(x - 3) (x - 3)$ 。

$y = (x - 3) (x - 3)$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$y = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

$y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

解题步骤 1.3.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$y = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

解题步骤 1.3.2

从 $- 3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

解题步骤 2

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $x^{2} - 6 x + 9$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $x^{2} - 6 x + 9$ 替换 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ 中所有出现的 $y$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}{25}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

化简分子。

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解题步骤 2.2.1.1.1

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1.1.1.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{{(x^{2} - 6 x + 3^{2})}^{2}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.1.1.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

解题步骤 2.2.1.1.1.3

重写多项式。

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{{(x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2})}^{2}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.1.1.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{{({(x - 3)}^{2})}^{2}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{{({(x - 3)}^{2})}^{2}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.1.2

将 ${({(x - 3)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{{(x - 3)}^{2 \cdot 2}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{{(x - 3)}^{4}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{{(x - 3)}^{4}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.1.3

使用二项式定理。

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{4} + 4 x^{3} \cdot - 3 + 6 x^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.1.4

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1.4.1

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.1.4.2

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 9 + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.1.4.3

将 $9$ 乘以 $6$ 。

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.1.4.4

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x \cdot - 27 + {(- 3)}^{4}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.1.4.5

将 $- 27$ 乘以 $4$ 。

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + {(- 3)}^{4}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.1.4.6

对 $- 3$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.1.5

使每一项与二项式定理公式中的项相匹配。

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{4} - 4 \cdot (3 x^{3}) + 6 \cdot (3^{2} x^{2}) - 4 \cdot (3^{3} x) + 3^{4}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.1.6

使用二项式定理来对 $x^{4} - 4 \cdot 3 x^{3} + 6 \cdot 3^{2} x^{2} - 4 \cdot 3^{3} x + 3^{4}$ 进行因式分解。

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{{(3 - x)}^{4}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{{(3 - x)}^{4}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.2

要将 $\frac{x^{2}}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{25}{25}$ 。

$\frac{x^{2}}{9} \cdot \frac{25}{25} + \frac{{(3 - x)}^{4}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.3

要将 $\frac{{(3 - x)}^{4}}{25}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{x^{2}}{9} \cdot \frac{25}{25} + \frac{{(3 - x)}^{4}}{25} \cdot \frac{9}{9} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $225$ 的形式。

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解题步骤 2.2.1.4.1

将 $\frac{x^{2}}{9}$ 乘以 $\frac{25}{25}$ 。

$\frac{x^{2} \cdot 25}{9 \cdot 25} + \frac{{(3 - x)}^{4}}{25} \cdot \frac{9}{9} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.4.2

将 $9$ 乘以 $25$ 。

$\frac{x^{2} \cdot 25}{225} + \frac{{(3 - x)}^{4}}{25} \cdot \frac{9}{9} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.4.3

将 $\frac{{(3 - x)}^{4}}{25}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{x^{2} \cdot 25}{225} + \frac{{(3 - x)}^{4} \cdot 9}{25 \cdot 9} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.4.4

将 $25$ 乘以 $9$ 。

$\frac{x^{2} \cdot 25}{225} + \frac{{(3 - x)}^{4} \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{x^{2} \cdot 25}{225} + \frac{{(3 - x)}^{4} \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} \cdot 25 + {(3 - x)}^{4} \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6

化简分子。

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解题步骤 2.2.1.6.1

将 $25$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{25 \cdot x^{2} + {(3 - x)}^{4} \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6.2

使用二项式定理。

$\frac{25 x^{2} + (3^{4} + 4 \cdot (3^{3} (- x)) + 6 \cdot (3^{2} {(- x)}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6.3

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.6.3.1

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{25 x^{2} + (81 + 4 \cdot (3^{3} (- x)) + 6 \cdot (3^{2} {(- x)}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6.3.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{25 x^{2} + (81 + 4 \cdot (27 (- x)) + 6 \cdot (3^{2} {(- x)}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6.3.3

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$\frac{25 x^{2} + (81 + 108 (- x) + 6 \cdot (3^{2} {(- x)}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6.3.4

将 $- 1$ 乘以 $108$ 。

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 6 \cdot (3^{2} {(- x)}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6.3.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 6 \cdot (9 {(- x)}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6.3.6

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 54 {(- x)}^{2} + 4 \cdot (3 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6.3.7

对 $- x$ 运用乘积法则。

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 54 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 4 \cdot (3 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6.3.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 54 (1 x^{2}) + 4 \cdot (3 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6.3.9

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 54 x^{2} + 4 \cdot (3 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6.3.10

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 54 x^{2} + 12 {(- x)}^{3} + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6.3.11

对 $- x$ 运用乘积法则。

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 54 x^{2} + 12 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6.3.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 54 x^{2} + 12 (- x^{3}) + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6.3.13

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 54 x^{2} - 12 x^{3} + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6.3.14

对 $- x$ 运用乘积法则。

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 54 x^{2} - 12 x^{3} + {(- 1)}^{4} x^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6.3.15

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 54 x^{2} - 12 x^{3} + 1 x^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6.3.16

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 54 x^{2} - 12 x^{3} + x^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 54 x^{2} - 12 x^{3} + x^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6.4

运用分配律。

$\frac{25 x^{2} + 81 \cdot 9 - 108 x \cdot 9 + 54 x^{2} \cdot 9 - 12 x^{3} \cdot 9 + x^{4} \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6.5

化简。

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解题步骤 2.2.1.6.5.1

将 $81$ 乘以 $9$ 。

$\frac{25 x^{2} + 729 - 108 x \cdot 9 + 54 x^{2} \cdot 9 - 12 x^{3} \cdot 9 + x^{4} \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6.5.2

将 $9$ 乘以 $- 108$ 。

$\frac{25 x^{2} + 729 - 972 x + 54 x^{2} \cdot 9 - 12 x^{3} \cdot 9 + x^{4} \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6.5.3

将 $9$ 乘以 $54$ 。

$\frac{25 x^{2} + 729 - 972 x + 486 x^{2} - 12 x^{3} \cdot 9 + x^{4} \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6.5.4

将 $9$ 乘以 $- 12$ 。

$\frac{25 x^{2} + 729 - 972 x + 486 x^{2} - 108 x^{3} + x^{4} \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6.5.5

将 $9$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$\frac{25 x^{2} + 729 - 972 x + 486 x^{2} - 108 x^{3} + 9 \cdot x^{4}}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{25 x^{2} + 729 - 972 x + 486 x^{2} - 108 x^{3} + 9 \cdot x^{4}}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6.6

将 $25 x^{2}$ 和 $486 x^{2}$ 相加。

$\frac{511 x^{2} + 729 - 972 x - 108 x^{3} + 9 x^{4}}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 2.2.1.6.7

重新排序项。

$\frac{9 x^{4} - 108 x^{3} + 511 x^{2} - 972 x + 729}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{9 x^{4} - 108 x^{3} + 511 x^{2} - 972 x + 729}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{9 x^{4} - 108 x^{3} + 511 x^{2} - 972 x + 729}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{9 x^{4} - 108 x^{3} + 511 x^{2} - 972 x + 729}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{9 x^{4} - 108 x^{3} + 511 x^{2} - 972 x + 729}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 3

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx 0.80535522, 3$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 4

去掉方程组中总为真的所有方程式。

$x \approx 0.80535522$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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