初级微积分示例

$2 x^{2} + y^{2} = 33$ , $x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$

解题步骤 1

在 $2 x^{2} + y^{2} = 33$ 中求解 $y$ 。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $2 x^{2}$ 。

$y^{2} = 33 - 2 x^{2}$

$x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$

解题步骤 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$

解题步骤 1.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$

解题步骤 1.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$

解题步骤 1.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$

解题步骤 2

求解方程组 $y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}, x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$ 。

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解题步骤 2.1

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $\sqrt{33 - 2 x^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用 $\sqrt{33 - 2 x^{2}}$ 替换 $x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$ 中所有出现的 $y$ .

$x^{2} + {(\sqrt{33 - 2 x^{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

解题步骤 2.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.1.2.1

化简 $x^{2} + {(\sqrt{33 - 2 x^{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}})$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.1

将 ${\sqrt{33 - 2 x^{2}}}^{2}$ 重写为 $33 - 2 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{33 - 2 x^{2}}$ 重写成 ${(33 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x^{2} + {({(33 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{2} + {(33 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x^{2} + {(33 - 2 x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.1.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.1.4.1

约去公因数。

$x^{2} + {(33 - 2 x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.1.1.4.2

重写表达式。

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.1.1.5

化简。

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} + 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.1.2

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$- x^{2} + 33 + 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$- x^{2} + 33 + 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$- x^{2} + 33 + 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$- x^{2} + 33 + 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

解题步骤 2.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x = 4$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

解题步骤 2.3

将每个方程中所有出现的 $x$ 替换成 $4$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用 $4$ 替换 $y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$ 中所有出现的 $x$ .

$y = \sqrt{33 - 2 {(4)}^{2}}$

$x = 4$

解题步骤 2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.1

化简 $\sqrt{33 - 2 {(4)}^{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \sqrt{33 - 2 \cdot 16}$

$x = 4$

解题步骤 2.3.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $16$ 。

$y = \sqrt{33 - 32}$

$x = 4$

解题步骤 2.3.2.1.3

从 $33$ 中减去 $32$ 。

$y = \sqrt{1}$

$x = 4$

解题步骤 2.3.2.1.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$y = 1$

$x = 4$

$y = 1$

$x = 4$

$y = 1$

$x = 4$

$y = 1$

$x = 4$

$y = 1$

$x = 4$

解题步骤 3

求解方程组 $y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}, x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$ 。

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解题步骤 3.1

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $- \sqrt{33 - 2 x^{2}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

使用 $- \sqrt{33 - 2 x^{2}}$ 替换 $x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$ 中所有出现的 $y$ .

$x^{2} + {(- \sqrt{33 - 2 x^{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

化简 $x^{2} + {(- \sqrt{33 - 2 x^{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}})$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1.1

对 $- \sqrt{33 - 2 x^{2}}$ 运用乘积法则。

$x^{2} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{33 - 2 x^{2}}}^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x^{2} + 1 {\sqrt{33 - 2 x^{2}}}^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.1.3

将 ${\sqrt{33 - 2 x^{2}}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + {\sqrt{33 - 2 x^{2}}}^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.1.4

将 ${\sqrt{33 - 2 x^{2}}}^{2}$ 重写为 $33 - 2 x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{33 - 2 x^{2}}$ 重写成 ${(33 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x^{2} + {({(33 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{2} + {(33 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x^{2} + {(33 - 2 x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.1.4.4.1

约去公因数。

$x^{2} + {(33 - 2 x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.1.4.4.2

重写表达式。

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.1.4.5

化简。

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.1.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} - 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} - 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.2

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$- x^{2} + 33 - 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$- x^{2} + 33 - 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$- x^{2} + 33 - 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$- x^{2} + 33 - 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

解题步骤 3.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x = - 2, 2$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

解题步骤 3.3

将每个方程中所有出现的 $x$ 替换成 $- 2$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用 $- 2$ 替换 $y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$ 中所有出现的 $x$ .

$y = - \sqrt{33 - 2 {(- 2)}^{2}}$

$x = - 2$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 $- \sqrt{33 - 2 {(- 2)}^{2}}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

通过指数相加将 $- 2$ 乘以 ${(- 2)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1.1

将 $- 2$ 乘以 ${(- 2)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1.1.1

对 $- 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = - \sqrt{33 + (- 2) {(- 2)}^{2}}$

$x = - 2$

解题步骤 3.3.2.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = - \sqrt{33 + {(- 2)}^{1 + 2}}$

$x = - 2$

$y = - \sqrt{33 + {(- 2)}^{1 + 2}}$

$x = - 2$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = - \sqrt{33 + {(- 2)}^{3}}$

$x = - 2$

$y = - \sqrt{33 + {(- 2)}^{3}}$

$x = - 2$

解题步骤 3.3.2.1.2

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = - \sqrt{33 - 8}$

$x = - 2$

解题步骤 3.3.2.1.3

从 $33$ 中减去 $8$ 。

$y = - \sqrt{25}$

$x = - 2$

解题步骤 3.3.2.1.4

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$y = - \sqrt{5^{2}}$

$x = - 2$

解题步骤 3.3.2.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$y = - 1 \cdot 5$

$x = - 2$

解题步骤 3.3.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$y = - 5$

$x = - 2$

$y = - 5$

$x = - 2$

$y = - 5$

$x = - 2$

$y = - 5$

$x = - 2$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $x$ 替换成 $2$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用 $2$ 替换 $y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$ 中所有出现的 $x$ .

$y = - \sqrt{33 - 2 {(2)}^{2}}$

$x = 2$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 $- \sqrt{33 - 2 {(2)}^{2}}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = - \sqrt{33 - 2 \cdot 4}$

$x = 2$

解题步骤 3.4.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$y = - \sqrt{33 - 8}$

$x = 2$

解题步骤 3.4.2.1.3

从 $33$ 中减去 $8$ 。

$y = - \sqrt{25}$

$x = 2$

解题步骤 3.4.2.1.4

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$y = - \sqrt{5^{2}}$

$x = 2$

解题步骤 3.4.2.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$y = - 1 \cdot 5$

$x = 2$

解题步骤 3.4.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$y = - 5$

$x = 2$

$y = - 5$

$x = 2$

$y = - 5$

$x = 2$

$y = - 5$

$x = 2$

$y = - 5$

$x = 2$

解题步骤 4

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(4, 1)$

$(- 2, - 5)$

$(2, - 5)$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

点形式：

$(4, 1), (4, 1), (- 2, - 5), (2, - 5)$

方程形式：

$x = 4, y = 1$

$x = - 2, y = - 5$

$x = 2, y = - 5$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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