初级微积分示例

$x^{2} + y^{2} = 9$ , $y = x^{2} - 3$

解题步骤 1

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $x^{2} - 3$ 。

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解题步骤 1.1

使用 $x^{2} - 3$ 替换 $x^{2} + y^{2} = 9$ 中所有出现的 $y$ .

$x^{2} + {(x^{2} - 3)}^{2} = 9$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.1

化简 $x^{2} + {(x^{2} - 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.1.1

将 ${(x^{2} - 3)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} - 3) (x^{2} - 3)$ 。

$x^{2} + (x^{2} - 3) (x^{2} - 3) = 9$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 1.2.1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} - 3) (x^{2} - 3)$ 。

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解题步骤 1.2.1.1.2.1

运用分配律。

$x^{2} + x^{2} (x^{2} - 3) - 3 (x^{2} - 3) = 9$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 1.2.1.1.2.2

运用分配律。

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3 - 3 (x^{2} - 3) = 9$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 1.2.1.1.2.3

运用分配律。

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 1.2.1.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.1.3.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1.1.3.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 1.2.1.1.3.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 1.2.1.1.3.1.2

将 $- 3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$x^{2} + x^{4} - 3 \cdot x^{2} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 1.2.1.1.3.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$x^{2} + x^{4} - 3 x^{2} - 3 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{4} - 3 x^{2} - 3 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 1.2.1.1.3.2

从 $- 3 x^{2}$ 中减去 $3 x^{2}$ 。

$x^{2} + x^{4} - 6 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{4} - 6 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{4} - 6 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 1.2.1.2

从 $x^{2}$ 中减去 $6 x^{2}$ 。

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 2

在 $x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

将 $u = x^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$u^{2} - 5 u + 9 = 9$

$u = x^{2}$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $9$ 。

$u^{2} - 5 u + 9 - 9 = 0$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 2.3

合并 $u^{2} - 5 u + 9 - 9$ 中相反的项。

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解题步骤 2.3.1

从 $9$ 中减去 $9$ 。

$u^{2} - 5 u + 0 = 0$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 2.3.2

将 $u^{2} - 5 u$ 和 $0$ 相加。

$u^{2} - 5 u = 0$

$y = x^{2} - 3$

$u^{2} - 5 u = 0$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 2.4

从 $u^{2} - 5 u$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 2.4.1

从 $u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot u - 5 u = 0$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 2.4.2

从 $- 5 u$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot u + u \cdot - 5 = 0$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 2.4.3

从 $u \cdot u + u \cdot - 5$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (u - 5) = 0$

$y = x^{2} - 3$

$u (u - 5) = 0$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 2.5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u = 0$

$u - 5 = 0$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 2.6

将 $u$ 设为等于 $0$ 。

$u = 0$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 2.7

将 $u - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 2.7.1

将 $u - 5$ 设为等于 $0$ 。

$u - 5 = 0$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 2.7.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$u = 5$

$y = x^{2} - 3$

$u = 5$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 2.8

最终解为使 $u (u - 5) = 0$ 成立的所有值。

$u = 0, 5$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 2.9

将 $u = x^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$x^{2} = 0$

$x^{2} = 5$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 2.10

求解 $x$ 的第一个方程。

$x^{2} = 0$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 2.11

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 2.11.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.11.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 2.11.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 2.11.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

$y = x^{2} - 3$

$x = 0$

$y = x^{2} - 3$

$x = 0$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 2.12

求解 $x$ 的第二个方程。

$x^{2} = 5$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 2.13

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.13.1

去掉圆括号。

$x^{2} = 5$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 2.13.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.13.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 2.13.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 2.13.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 2.14

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$ 的解是 $x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ 。

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

解题步骤 3

将每个方程中所有出现的 $x$ 替换成 $0$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $0$ 替换 $y = x^{2} - 3$ 中所有出现的 $x$ .

$y = {(0)}^{2} - 3$

$x = 0$

解题步骤 3.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.1

化简 ${(0)}^{2} - 3$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0 - 3$

$x = 0$

解题步骤 3.2.1.2

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

解题步骤 4

将每个方程中所有出现的 $x$ 替换成 $\sqrt{5}$ 。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt{5}$ 替换 $y = x^{2} - 3$ 中所有出现的 $x$ .

$y = {(\sqrt{5})}^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

解题步骤 4.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.1

化简 ${(\sqrt{5})}^{2} - 3$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.1.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1.4.1

约去公因数。

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.1.1.4.2

重写表达式。

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.1.1.5

计算指数。

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

解题步骤 4.2.1.2

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

解题步骤 5

将每个方程中所有出现的 $x$ 替换成 $0$ 。

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解题步骤 5.1

使用 $0$ 替换 $y = x^{2} - 3$ 中所有出现的 $x$ .

$y = {(0)}^{2} - 3$

$x = 0$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

化简 ${(0)}^{2} - 3$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0 - 3$

$x = 0$

解题步骤 5.2.1.2

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

解题步骤 6

将每个方程中所有出现的 $x$ 替换成 $\sqrt{5}$ 。

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解题步骤 6.1

使用 $\sqrt{5}$ 替换 $y = x^{2} - 3$ 中所有出现的 $x$ .

$y = {(\sqrt{5})}^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

解题步骤 6.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1

化简 ${(\sqrt{5})}^{2} - 3$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 6.2.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

解题步骤 6.2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

解题步骤 6.2.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = \sqrt{5}$

解题步骤 6.2.1.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.4.1

约去公因数。

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = \sqrt{5}$

解题步骤 6.2.1.1.4.2

重写表达式。

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

解题步骤 6.2.1.1.5

计算指数。

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

解题步骤 6.2.1.2

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

解题步骤 7

将每个方程中所有出现的 $x$ 替换成 $- \sqrt{5}$ 。

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解题步骤 7.1

使用 $- \sqrt{5}$ 替换 $y = x^{2} - 3$ 中所有出现的 $x$ .

$y = {(- \sqrt{5})}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

化简 ${(- \sqrt{5})}^{2} - 3$ 。

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解题步骤 7.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1.1

对 $- \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$y = {(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

解题步骤 7.2.1.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = 1 {\sqrt{5}}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

解题步骤 7.2.1.1.3

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y = {\sqrt{5}}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

解题步骤 7.2.1.1.4

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 7.2.1.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

解题步骤 7.2.1.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

解题步骤 7.2.1.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

解题步骤 7.2.1.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1.4.4.1

约去公因数。

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

解题步骤 7.2.1.1.4.4.2

重写表达式。

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

解题步骤 7.2.1.1.4.5

计算指数。

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

解题步骤 7.2.1.2

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$y = 2$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = - \sqrt{5}$

解题步骤 8

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(0, - 3)$

$(\sqrt{5}, 2)$

$(- \sqrt{5}, 2)$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

点形式：

$(0, - 3), (\sqrt{5}, 2), (- \sqrt{5}, 2)$

方程形式：

$x = 0, y = - 3$

$x = \sqrt{5}, y = 2$

$x = - \sqrt{5}, y = 2$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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