初级微积分示例

$x^{2} y = 9$ , $x^{2} + 4 y + 12 = 0$

解题步骤 1

将 $x^{2} y = 9$ 中的每一项除以 $x^{2}$ 并化简。

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解题步骤 1.1

将 $x^{2} y = 9$ 中的每一项都除以 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + 4 y + 12 = 0$

解题步骤 1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + 4 y + 12 = 0$

解题步骤 1.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + 4 y + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + 4 y + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + 4 y + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + 4 y + 12 = 0$

解题步骤 2

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $\frac{9}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\frac{9}{x^{2}}$ 替换 $x^{2} + 4 y + 12 = 0$ 中所有出现的 $y$ .

$x^{2} + 4 (\frac{9}{x^{2}}) + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

乘以 $4 (\frac{9}{x^{2}})$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

组合 $4$ 和 $\frac{9}{x^{2}}$ 。

$x^{2} + \frac{4 \cdot 9}{x^{2}} + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 3

在 $x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, x^{2}, 1, 1$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 3.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 3.2.1

将 $x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 。

$x^{2} x^{2} + \frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2} + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2 + 2} + \frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2} + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$x^{4} + \frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2} + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{4} + \frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2} + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 3.2.2.1.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.2.1

约去公因数。

$x^{4} + \frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2} + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 3.2.2.1.2.2

重写表达式。

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

将 $0$ 乘以 $x^{2}$ 。

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 3.3

求解方程。

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解题步骤 3.3.1

将 $u = x^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$u^{2} + 12 u + 36 = 0$

$u = x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$u^{2} + 12 u + 6^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$12 u = 2 \cdot u \cdot 6$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.2.3

重写多项式。

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 6 + 6^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = u$ 和 $b = 6$ 。

${(u + 6)}^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

${(u + 6)}^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.3

将 $u + 6$ 设为等于 $0$ 。

$u + 6 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.4

从等式两边同时减去 $6$ 。

$u = - 6$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.5

将 $u = x^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$x^{2} = - 6$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.6

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.3.6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.6.2

化简 $\pm \sqrt{- 6}$ 。

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解题步骤 3.3.6.2.1

将 $- 6$ 重写为 $- 1 (6)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 \cdot 6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.6.2.2

将 $\sqrt{- 1 (6)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.6.2.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x = \pm i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.3.6.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.6.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.6.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。