初级微积分示例

$x^{2} + y^{2} = 8$ , $y^{2} = 2 x$

解题步骤 1

在 $y^{2} = 2 x$ 中求解 $y$ 。

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解题步骤 1.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

解题步骤 1.2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

解题步骤 1.2.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

解题步骤 1.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

解题步骤 2

求解方程组 $y = \sqrt{2 x}, x^{2} + y^{2} = 8$ 。

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解题步骤 2.1

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $\sqrt{2 x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用 $\sqrt{2 x}$ 替换 $x^{2} + y^{2} = 8$ 中所有出现的 $y$ .

$x^{2} + {(\sqrt{2 x})}^{2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

解题步骤 2.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.1.2.1

将 ${\sqrt{2 x}}^{2}$ 重写为 $2 x$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x}$ 重写成 ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x^{2} + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

解题步骤 2.1.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

解题步骤 2.1.2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

解题步骤 2.1.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.4.1

约去公因数。

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

解题步骤 2.1.2.1.4.2

重写表达式。

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

解题步骤 2.1.2.1.5

化简。

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

解题步骤 2.2

在 $x^{2} + 2 x = 8$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1

从等式两边同时减去 $8$ 。

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

解题步骤 2.2.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 2 x - 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 8$ ，和为 $2$ 。

$- 2, 4$

$y = \sqrt{2 x}$

解题步骤 2.2.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 2) (x + 4) = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

$(x - 2) (x + 4) = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

解题步骤 2.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

解题步骤 2.2.4

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

解题步骤 2.2.4.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

$y = \sqrt{2 x}$

$x = 2$

$y = \sqrt{2 x}$

解题步骤 2.2.5

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

解题步骤 2.2.5.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

$y = \sqrt{2 x}$

$x = - 4$

$y = \sqrt{2 x}$

解题步骤 2.2.6

最终解为使 $(x - 2) (x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, - 4$

$y = \sqrt{2 x}$

$x = 2, - 4$

$y = \sqrt{2 x}$

解题步骤 2.3

将每个方程中所有出现的 $x$ 替换成 $2$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用 $2$ 替换 $y = \sqrt{2 x}$ 中所有出现的 $x$ .

$y = \sqrt{2 (2)}$

$x = 2$

解题步骤 2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.1

化简 $\sqrt{2 (2)}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \sqrt{4}$

$x = 2$

解题步骤 2.3.2.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \sqrt{2^{2}}$

$x = 2$

解题步骤 2.3.2.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

解题步骤 2.4

将每个方程中所有出现的 $x$ 替换成 $- 4$ 。

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解题步骤 2.4.1

使用 $- 4$ 替换 $y = \sqrt{2 x}$ 中所有出现的 $x$ .

$y = \sqrt{2 (- 4)}$

$x = - 4$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简 $\sqrt{2 (- 4)}$ 。

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解题步骤 2.4.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \sqrt{- 8}$

$x = - 4$

解题步骤 2.4.2.1.2

将 $- 8$ 重写为 $- 1 (8)$ 。

$y = \sqrt{- 1 \cdot 8}$

$x = - 4$

解题步骤 2.4.2.1.3

将 $\sqrt{- 1 (8)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ 。

$y = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

$x = - 4$

解题步骤 2.4.2.1.4

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$y = i \cdot \sqrt{8}$

$x = - 4$

解题步骤 2.4.2.1.5

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.4.2.1.5.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = i \cdot \sqrt{4 (2)}$

$x = - 4$

解题步骤 2.4.2.1.5.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

$x = - 4$

$y = i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

$x = - 4$

解题步骤 2.4.2.1.6

从根式下提出各项。

$y = i \cdot (2 \sqrt{2})$

$x = - 4$

解题步骤 2.4.2.1.7

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

解题步骤 3

求解方程组 $y = - \sqrt{2 x}, x^{2} + y^{2} = 8$ 。

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解题步骤 3.1

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $- \sqrt{2 x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

使用 $- \sqrt{2 x}$ 替换 $x^{2} + y^{2} = 8$ 中所有出现的 $y$ .

$x^{2} + {(- \sqrt{2 x})}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $- \sqrt{2 x}$ 运用乘积法则。

$x^{2} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{2 x}}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

解题步骤 3.1.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x^{2} + 1 {\sqrt{2 x}}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

解题步骤 3.1.2.1.3

将 ${\sqrt{2 x}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + {\sqrt{2 x}}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

解题步骤 3.1.2.1.4

将 ${\sqrt{2 x}}^{2}$ 重写为 $2 x$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x}$ 重写成 ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x^{2} + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

解题步骤 3.1.2.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

解题步骤 3.1.2.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

解题步骤 3.1.2.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.4.4.1

约去公因数。

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

解题步骤 3.1.2.1.4.4.2

重写表达式。

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

解题步骤 3.1.2.1.4.5

化简。

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

解题步骤 3.2

在 $x^{2} + 2 x = 8$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $8$ 。

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

解题步骤 3.2.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 2 x - 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.2.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 8$ ，和为 $2$ 。

$- 2, 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

解题步骤 3.2.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 2) (x + 4) = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

$(x - 2) (x + 4) = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

解题步骤 3.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

解题步骤 3.2.4

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

解题步骤 3.2.4.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x = 2$

$y = - \sqrt{2 x}$

解题步骤 3.2.5

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.5.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

解题步骤 3.2.5.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x = - 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

解题步骤 3.2.6

最终解为使 $(x - 2) (x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, - 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x = 2, - 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

解题步骤 3.3

将每个方程中所有出现的 $x$ 替换成 $2$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用 $2$ 替换 $y = - \sqrt{2 x}$ 中所有出现的 $x$ .

$y = - \sqrt{2 (2)}$

$x = 2$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 $- \sqrt{2 (2)}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = - \sqrt{4}$

$x = 2$

解题步骤 3.3.2.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = - \sqrt{2^{2}}$

$x = 2$

解题步骤 3.3.2.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$y = - 1 \cdot 2$

$x = 2$

解题步骤 3.3.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y = - 2$

$x = 2$

$y = - 2$

$x = 2$

$y = - 2$

$x = 2$

$y = - 2$

$x = 2$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $x$ 替换成 $- 4$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用 $- 4$ 替换 $y = - \sqrt{2 x}$ 中所有出现的 $x$ .

$y = - \sqrt{2 (- 4)}$

$x = - 4$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 $- \sqrt{2 (- 4)}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$y = - \sqrt{- 8}$

$x = - 4$

解题步骤 3.4.2.1.2

将 $- 8$ 重写为 $- 1 (8)$ 。

$y = - \sqrt{- 1 \cdot 8}$

$x = - 4$

解题步骤 3.4.2.1.3

将 $\sqrt{- 1 (8)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ 。

$y = - (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8})$

$x = - 4$

解题步骤 3.4.2.1.4

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$y = - (i \cdot \sqrt{8})$

$x = - 4$

解题步骤 3.4.2.1.5

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.5.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = - (i \cdot \sqrt{4 (2)})$

$x = - 4$

解题步骤 3.4.2.1.5.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = - (i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

$x = - 4$

$y = - (i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

$x = - 4$

解题步骤 3.4.2.1.6

从根式下提出各项。

$y = - (i \cdot (2 \sqrt{2}))$

$x = - 4$

解题步骤 3.4.2.1.7

化简表达式。

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解题步骤 3.4.2.1.7.1

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$y = - (2 \cdot (i \sqrt{2}))$

$x = - 4$

解题步骤 3.4.2.1.7.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

解题步骤 4

列出所有解。

$y = 2, x = 2$

$y = 2 i \sqrt{2}, x = - 4$

$y = - 2, x = 2$

$y = - 2 i \sqrt{2}, x = - 4$

解题步骤 5

初级微积分 示例

初级微积分示例