初级微积分示例

$x^{2} + y^{2} - x + 10 y + 25 = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $25$ 。

$x^{2} + y^{2} - x + 10 y = - 25$

解题步骤 2

对 $x^{2} - x$ 进行配方。

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解题步骤 2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

解题步骤 2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $- 1$ 和 $1$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2.1.2

约去公因数。

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2.1.3

重写表达式。

$d = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{1}{4}$

解题步骤 2.4.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{4}$ 。

$e = - \frac{1}{4}$

解题步骤 2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ 。

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

解题步骤 3

在方程 $x^{2} + y^{2} - x + 10 y = - 25$ 中，用 ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ 代替 $x^{2} - x$ 。

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} + 10 y = - 25$

解题步骤 4

通过在等式两边同时加上 $\frac{1}{4}$ 的方法来将 $- \frac{1}{4}$ 移到等式右边。

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} + 10 y = - 25 + \frac{1}{4}$

解题步骤 5

对 $y^{2} + 10 y$ 进行配方。

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解题步骤 5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 10$

$c = 0$

解题步骤 5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{10}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.2

约去 $10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

从 $2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

解题步骤 5.3.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{5}{1}$

解题步骤 5.3.2.2.4

用 $5$ 除以 $1$ 。

$d = 5$

解题步骤 5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{100}{4}$

解题步骤 5.4.2.1.3

用 $100$ 除以 $4$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 25$

解题步骤 5.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$e = 0 - 25$

解题步骤 5.4.2.2

从 $0$ 中减去 $25$ 。

$e = - 25$

解题步骤 5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(y + 5)}^{2} - 25$ 。

${(y + 5)}^{2} - 25$

解题步骤 6

在方程 $x^{2} + y^{2} - x + 10 y = - 25$ 中，用 ${(y + 5)}^{2} - 25$ 代替 $y^{2} + 10 y$ 。

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} - 25 = - 25 + \frac{1}{4}$

解题步骤 7

通过在等式两边同时加上 $25$ 的方法来将 $- 25$ 移到等式右边。

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} = - 25 + \frac{1}{4} + 25$

解题步骤 8

化简 $- 25 + \frac{1}{4} + 25$ 。

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解题步骤 8.1

求公分母。

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解题步骤 8.1.1

将 $- 25$ 写成分母为 $1$ 的分数。

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} = \frac{- 25}{1} + \frac{1}{4} + 25$

解题步骤 8.1.2

将 $\frac{- 25}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} = \frac{- 25}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} + 25$

解题步骤 8.1.3

将 $\frac{- 25}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} = \frac{- 25 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + 25$

解题步骤 8.1.4

将 $25$ 写成分母为 $1$ 的分数。

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} = \frac{- 25 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{25}{1}$

解题步骤 8.1.5

将 $\frac{25}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} = \frac{- 25 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{25}{1} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 8.1.6

将 $\frac{25}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} = \frac{- 25 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{25 \cdot 4}{4}$

解题步骤 8.2

在公分母上合并分子。

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} = \frac{- 25 \cdot 4 + 1 + 25 \cdot 4}{4}$

解题步骤 8.3

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1

将 $- 25$ 乘以 $4$ 。

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} = \frac{- 100 + 1 + 25 \cdot 4}{4}$

解题步骤 8.3.2

将 $25$ 乘以 $4$ 。

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} = \frac{- 100 + 1 + 100}{4}$

解题步骤 8.4

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 8.4.1

将 $- 100$ 和 $1$ 相加。

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} = \frac{- 99 + 100}{4}$

解题步骤 8.4.2

将 $- 99$ 和 $100$ 相加。

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 5)}^{2} = \frac{1}{4}$

初级微积分 示例

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