初级微积分示例

$- {(x - 4)}^{2}$

解题步骤 1

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 1.1

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = - 1$

$h = 4$

$k = 0$

解题步骤 1.2

因为 $a$ 的值是负数，所以该抛物线开口向下。

开口向下

解题步骤 1.3

求顶点 $(h, k)$ 。

$(4, 0)$

解题步骤 1.4

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 1.4.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 1.4.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.4.3

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.4.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{4}$

解题步骤 1.5

求焦点。

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解题步骤 1.5.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 1.5.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(4, - \frac{1}{4})$

解题步骤 1.6

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = 4$

解题步骤 1.7

求准线。

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解题步骤 1.7.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 1.7.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.8

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(4, 0)$

焦点： $(4, - \frac{1}{4})$

对称轴： $x = 4$

准线： $y = \frac{1}{4}$

方向：开口向下

顶点： $(4, 0)$

焦点： $(4, - \frac{1}{4})$

对称轴： $x = 4$

准线： $y = \frac{1}{4}$

解题步骤 2

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = - {(3)}^{2} + 8 (3) - 16$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 8 (3) - 16$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$f (3) = - 9 + 8 (3) - 16$

解题步骤 2.2.1.3

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = - 9 + 24 - 16$

解题步骤 2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $- 9$ 和 $24$ 相加。

$f (3) = 15 - 16$

解题步骤 2.2.2.2

从 $15$ 中减去 $16$ 。

$f (3) = - 1$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.3

$y$ 在 $x = 3$ 处的值为 $- 1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 2.4

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = - {(2)}^{2} + 8 (2) - 16$

解题步骤 2.5

化简结果。

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解题步骤 2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 8 (2) - 16$

解题步骤 2.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (2) = - 4 + 8 (2) - 16$

解题步骤 2.5.1.3

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = - 4 + 16 - 16$

解题步骤 2.5.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $- 4$ 和 $16$ 相加。

$f (2) = 12 - 16$

解题步骤 2.5.2.2

从 $12$ 中减去 $16$ 。

$f (2) = - 4$

解题步骤 2.5.3

最终答案为 $- 4$ 。

$- 4$

解题步骤 2.6

$y$ 在 $x = 2$ 处的值为 $- 4$ 。

$y = - 4$

解题步骤 2.7

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f (5) = - {(5)}^{2} + 8 (5) - 16$

解题步骤 2.8

化简结果。

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解题步骤 2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (5) = - 1 \cdot 25 + 8 (5) - 16$

解题步骤 2.8.1.2

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$f (5) = - 25 + 8 (5) - 16$

解题步骤 2.8.1.3

将 $8$ 乘以 $5$ 。

$f (5) = - 25 + 40 - 16$

解题步骤 2.8.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.8.2.1

将 $- 25$ 和 $40$ 相加。

$f (5) = 15 - 16$

解题步骤 2.8.2.2

从 $15$ 中减去 $16$ 。

$f (5) = - 1$

解题步骤 2.8.3

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.9

$y$ 在 $x = 5$ 处的值为 $- 1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 2.10

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f (6) = - {(6)}^{2} + 8 (6) - 16$

解题步骤 2.11

化简结果。

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解题步骤 2.11.1

化简每一项。

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解题步骤 2.11.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (6) = - 1 \cdot 36 + 8 (6) - 16$

解题步骤 2.11.1.2

将 $- 1$ 乘以 $36$ 。

$f (6) = - 36 + 8 (6) - 16$

解题步骤 2.11.1.3

将 $8$ 乘以 $6$ 。

$f (6) = - 36 + 48 - 16$

解题步骤 2.11.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.11.2.1

将 $- 36$ 和 $48$ 相加。

$f (6) = 12 - 16$

解题步骤 2.11.2.2

从 $12$ 中减去 $16$ 。

$f (6) = - 4$

解题步骤 2.11.3

最终答案为 $- 4$ 。

$- 4$

解题步骤 2.12

$y$ 在 $x = 6$ 处的值为 $- 4$ 。

$y = - 4$

解题步骤 2.13

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 4 \\ 3 & - 1 \\ 4 & 0 \\ 5 & - 1 \\ 6 & - 4 \end{array}$

解题步骤 3

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(4, 0)$

焦点： $(4, - \frac{1}{4})$

对称轴： $x = 4$

准线： $y = \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 4 \\ 3 & - 1 \\ 4 & 0 \\ 5 & - 1 \\ 6 & - 4 \end{array}$

解题步骤 4

初级微积分 示例

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