初级微积分示例

$\frac{y^{2}}{36} - \frac{x^{2}}{100} = 1$

解题步骤 1

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{y^{2}}{36} - \frac{x^{2}}{100} = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线顶点和渐近线的值。

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = 6$

$b = 10$

$k = 0$

$h = 0$

解题步骤 4

双曲线的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(0, 0)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从双曲线中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(6)}^{2} + {(10)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{36 + {(10)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{36 + 100}$

解题步骤 5.3.3

将 $36$ 和 $100$ 相加。

$\sqrt{136}$

解题步骤 5.3.4

将 $136$ 重写为 $2^{2} \cdot 34$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $136$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{4 (34)}$

解题步骤 5.3.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{2^{2} \cdot 34}$

解题步骤 5.3.5

从根式下提出各项。

$2 \sqrt{34}$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

双曲线的第一个顶点可通过 $k$ 加上 $a$ 求得。

$(h, k + a)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(0, 6)$

解题步骤 6.3

双曲线的第二个顶点可通过从 $k$ 中减去 $a$ 求得。

$(h, k - a)$

解题步骤 6.4

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(0, - 6)$

解题步骤 6.5

双曲线的顶点符合 $(h, k \pm a)$ 的形式。双曲线有两个顶点。

$(0, 6), (0, - 6)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $k$ 求得。

$(h, k + c)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(0, 2 \sqrt{34})$

解题步骤 7.3

双曲线的第二个焦点可通过从 $k$ 中减去 $c$ 求得。

$(h, k - c)$

解题步骤 7.4

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(0, - 2 \sqrt{34})$

解题步骤 7.5

双曲线的焦点遵循 $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ 的形式。双曲线有两个焦点。

$(0, 2 \sqrt{34}), (0, - 2 \sqrt{34})$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} + {(10)}^{2}}}{6}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

化简分子。

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解题步骤 8.3.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{36 + 10^{2}}}{6}$

解题步骤 8.3.1.2

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{36 + 100}}{6}$

解题步骤 8.3.1.3

将 $36$ 和 $100$ 相加。

$\frac{\sqrt{136}}{6}$

解题步骤 8.3.1.4

将 $136$ 重写为 $2^{2} \cdot 34$ 。

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解题步骤 8.3.1.4.1

从 $136$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\sqrt{4 (34)}}{6}$

解题步骤 8.3.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 34}}{6}$

解题步骤 8.3.1.5

从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{34}}{6}$

解题步骤 8.3.2

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.1

从 $2 \sqrt{34}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{34})}{6}$

解题步骤 8.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{34}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{34}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{34}}{3}$

解题步骤 9

求焦点参数。

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解题步骤 9.1

通过使用下面的公式求双曲线焦点参数的值。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

解题步骤 9.2

将 $b$ 和 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的值代入公式。

$\frac{10^{2}}{2 \sqrt{34}}$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{100}{2 \sqrt{34}}$

解题步骤 9.3.2

约去 $100$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.1

从 $100$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 50}{2 \sqrt{34}}$

解题步骤 9.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.2.2.1

从 $2 \sqrt{34}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 50}{2 (\sqrt{34})}$

解题步骤 9.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 50}{2 \sqrt{34}}$

解题步骤 9.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{50}{\sqrt{34}}$

解题步骤 9.3.3

将 $\frac{50}{\sqrt{34}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ 。

$\frac{50}{\sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$

解题步骤 9.3.4

合并和化简分母。

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解题步骤 9.3.4.1

将 $\frac{50}{\sqrt{34}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ 。

$\frac{50 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

解题步骤 9.3.4.2

对 $\sqrt{34}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{50 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34}}$

解题步骤 9.3.4.3

对 $\sqrt{34}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{50 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1}}$

解题步骤 9.3.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{50 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.3.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{50 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{2}}$

解题步骤 9.3.4.6

将 ${\sqrt{34}}^{2}$ 重写为 $34$ 。

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解题步骤 9.3.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{34}$ 重写成 $34^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{50 \sqrt{34}}{{(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.3.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{50 \sqrt{34}}{34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.3.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{50 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.4.6.4.1

约去公因数。

$\frac{50 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.4.6.4.2

重写表达式。

$\frac{50 \sqrt{34}}{34^{1}}$

解题步骤 9.3.4.6.5

计算指数。

$\frac{50 \sqrt{34}}{34}$

解题步骤 9.3.5

约去 $50$ 和 $34$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.5.1

从 $50 \sqrt{34}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (25 \sqrt{34})}{34}$

解题步骤 9.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.5.2.1

从 $34$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (25 \sqrt{34})}{2 (17)}$

解题步骤 9.3.5.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (25 \sqrt{34})}{2 \cdot 17}$

解题步骤 9.3.5.2.3

重写表达式。

$\frac{25 \sqrt{34}}{17}$

解题步骤 10

因为双曲线为上下开口，所以渐近线满足 $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ 形式。

$y = \pm \frac{3}{5} x + 0$

解题步骤 11

化简 $\frac{3}{5} x + 0$ 。

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解题步骤 11.1

将 $\frac{3}{5} x$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{3}{5} x$

解题步骤 11.2

组合 $\frac{3}{5}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{3 x}{5}$

解题步骤 12

化简 $- \frac{3}{5} x + 0$ 。

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解题步骤 12.1

将 $- \frac{3}{5} x$ 和 $0$ 相加。

$y = - \frac{3}{5} x$

解题步骤 12.2

组合 $x$ 和 $\frac{3}{5}$ 。

$y = - \frac{x \cdot 3}{5}$

解题步骤 12.3

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = - \frac{3 x}{5}$

解题步骤 13

该双曲线有两条渐近线。

$y = \frac{3 x}{5}, y = - \frac{3 x}{5}$

解题步骤 14

这些值代表的是绘制和分析双曲线时的重要数值。

中心点： $(0, 0)$

顶点： $(0, 6), (0, - 6)$

焦点： $(0, 2 \sqrt{34}), (0, - 2 \sqrt{34})$

离心率： $\frac{\sqrt{34}}{3}$

焦点参数： $\frac{25 \sqrt{34}}{17}$

渐近线： $y = \frac{3 x}{5}$ ， $y = - \frac{3 x}{5}$

解题步骤 15

初级微积分 示例

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