初级微积分示例

$72 x^{2} + y^{2} + 24 y = 0$

解题步骤 1

求椭圆的标准形式。

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解题步骤 1.1

对 $y^{2} + 24 y$ 进行配方。

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解题步骤 1.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 24$

$c = 0$

解题步骤 1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{24}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.2

约去 $24$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.1

从 $24$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.2.1

从 $2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 (1)}$

解题步骤 1.1.3.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{12}{1}$

解题步骤 1.1.3.2.2.4

用 $12$ 除以 $1$ 。

$d = 12$

解题步骤 1.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{24^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.2.1.1

对 $24$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{576}{4}$

解题步骤 1.1.4.2.1.3

用 $576$ 除以 $4$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 144$

解题步骤 1.1.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $144$ 。

$e = 0 - 144$

解题步骤 1.1.4.2.2

从 $0$ 中减去 $144$ 。

$e = - 144$

解题步骤 1.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(y + 12)}^{2} - 144$ 。

${(y + 12)}^{2} - 144$

解题步骤 1.2

在方程 $72 x^{2} + y^{2} + 24 y = 0$ 中，用 ${(y + 12)}^{2} - 144$ 代替 $y^{2} + 24 y$ 。

$72 x^{2} + {(y + 12)}^{2} - 144 = 0$

解题步骤 1.3

通过在等式两边同时加上 $144$ 的方法来将 $- 144$ 移到等式右边。

$72 x^{2} + {(y + 12)}^{2} = 0 + 144$

解题步骤 1.4

将 $0$ 和 $144$ 相加。

$72 x^{2} + {(y + 12)}^{2} = 144$

解题步骤 1.5

将每一项除以 $144$ 以使方程右边等于一。

$\frac{72 x^{2}}{144} + \frac{{(y + 12)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

解题步骤 1.6

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{{(y + 12)}^{2}}{144} = 1$

解题步骤 2

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $a$ 表示椭圆长轴的半径， $b$ 表示椭圆短轴的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$a = 12$

$b = \sqrt{2}$

$k = - 12$

$h = 0$

解题步骤 4

椭圆的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(0, - 12)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从椭圆中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(12)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{144 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{144 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{144 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{144 - 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{144 - 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{144 - 2^{1}}$

解题步骤 5.3.2.5

计算指数。

$\sqrt{144 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 5.3.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{144 - 2}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $144$ 中减去 $2$ 。

$\sqrt{142}$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

椭圆的第一个顶点可通过 $k$ 加上 $a$ 求得。

$(h, k + a)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, - 12 + 12)$

解题步骤 6.3

化简。

$(0, 0)$

解题步骤 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

解题步骤 6.5

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, - 12 - (12))$

解题步骤 6.6

化简。

$(0, - 24)$

解题步骤 6.7

椭圆形有两个顶点。

${Vertex}_{1}$ : $(0, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 24)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 24)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $k$ 求得。

$(h, k + c)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, - 12 + \sqrt{142})$

解题步骤 7.3

椭圆的第一个焦点可通过 $k$ 减去 $c$ 求得。

$(h, k - c)$

解题步骤 7.4

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, - 12 - (\sqrt{142}))$

解题步骤 7.5

化简。

$(0, - 12 - \sqrt{142})$

解题步骤 7.6

椭圆形有两个焦点。

${Focus}_{1}$ : $(0, - 12 + \sqrt{142})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 12 - \sqrt{142})$

${Focus}_{1}$ : $(0, - 12 + \sqrt{142})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 12 - \sqrt{142})$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}}{12}$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{144 - {\sqrt{2}}^{2}}}{12}$

解题步骤 8.3.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 8.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{144 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{12}$

解题步骤 8.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{144 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{12}$

解题步骤 8.3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{144 - 2^{\frac{2}{2}}}}{12}$

解题步骤 8.3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{144 - 2^{\frac{2}{2}}}}{12}$

解题步骤 8.3.2.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{144 - 2^{1}}}{12}$

解题步骤 8.3.2.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{144 - 1 \cdot 2}}{12}$

解题步骤 8.3.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{144 - 2}}{12}$

解题步骤 8.3.4

从 $144$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\sqrt{142}}{12}$

解题步骤 9

这些值代表的是绘制和分析椭圆时的重要数值。

中心点： $(0, - 12)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 24)$

${Focus}_{1}$ : $(0, - 12 + \sqrt{142})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 12 - \sqrt{142})$

离心率： $\frac{\sqrt{142}}{12}$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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