初级微积分示例

$y^{2} = 1 - 25 x^{2}$

解题步骤 1

求椭圆的标准形式。

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解题步骤 1.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 1.1.1

在等式两边都加上 $25 x^{2}$ 。

$y^{2} + 25 x^{2} = 1$

解题步骤 1.1.2

将 $y^{2}$ 和 $25 x^{2}$ 重新排序。

$25 x^{2} + y^{2} = 1$

解题步骤 1.2

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{25}} + y^{2} = 1$

解题步骤 2

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $a$ 表示椭圆长轴的半径， $b$ 表示椭圆短轴的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$a = 1$

$b = \frac{1}{5}$

$k = 0$

$h = 0$

解题步骤 4

椭圆的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(0, 0)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从椭圆中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

对 $\frac{1}{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 5.3.3

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 - \frac{1}{5^{2}}}$

解题步骤 5.3.4

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{1 - \frac{1}{25}}$

解题步骤 5.3.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{25}{25} - \frac{1}{25}}$

解题步骤 5.3.6

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{25 - 1}{25}}$

解题步骤 5.3.7

从 $25$ 中减去 $1$ 。

$\sqrt{\frac{24}{25}}$

解题步骤 5.3.8

将 $\sqrt{\frac{24}{25}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$ 。

$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$

解题步骤 5.3.9

化简分子。

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解题步骤 5.3.9.1

将 $24$ 重写为 $2^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 5.3.9.1.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\sqrt{4 (6)}}{\sqrt{25}}$

解题步骤 5.3.9.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6}}{\sqrt{25}}$

解题步骤 5.3.9.2

从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{25}}$

解题步骤 5.3.10

化简分母。

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解题步骤 5.3.10.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{5^{2}}}$

解题步骤 5.3.10.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

椭圆的第一个顶点可通过 $k$ 加上 $a$ 求得。

$(h, k + a)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 + 1)$

解题步骤 6.3

化简。

$(0, 1)$

解题步骤 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

解题步骤 6.5

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 - (1))$

解题步骤 6.6

化简。

$(0, - 1)$

解题步骤 6.7

椭圆形有两个顶点。

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $k$ 求得。

$(h, k + c)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 + \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

解题步骤 7.3

化简。

$(0, \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

解题步骤 7.4

椭圆的第一个焦点可通过 $k$ 减去 $c$ 求得。

$(h, k - c)$

解题步骤 7.5

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 - (\frac{2 \sqrt{6}}{5}))$

解题步骤 7.6

化简。

$(0, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

解题步骤 7.7

椭圆形有两个焦点。

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}}{1}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

用 $\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

解题步骤 8.3.2

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

解题步骤 8.3.3

对 $\frac{1}{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 8.3.4

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 - \frac{1}{5^{2}}}$

解题步骤 8.3.5

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{1 - \frac{1}{25}}$

解题步骤 8.3.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{25}{25} - \frac{1}{25}}$

解题步骤 8.3.7

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{25 - 1}{25}}$

解题步骤 8.3.8

从 $25$ 中减去 $1$ 。

$\sqrt{\frac{24}{25}}$

解题步骤 8.3.9

将 $\sqrt{\frac{24}{25}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$ 。

$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$

解题步骤 8.3.10

化简分子。

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解题步骤 8.3.10.1

将 $24$ 重写为 $2^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 8.3.10.1.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\sqrt{4 (6)}}{\sqrt{25}}$

解题步骤 8.3.10.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6}}{\sqrt{25}}$

解题步骤 8.3.10.2

从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{25}}$

解题步骤 8.3.11

化简分母。

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解题步骤 8.3.11.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{5^{2}}}$

解题步骤 8.3.11.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

解题步骤 9

这些值代表的是绘制和分析椭圆时的重要数值。

中心点： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

离心率： $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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