初级微积分示例

$y^{2} + 2 y - x = 0$

解题步骤 1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $y^{2}$ 。

$2 y - x = - y^{2}$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $2 y$ 。

$- x = - y^{2} - 2 y$

解题步骤 2

将 $- x = - y^{2} - 2 y$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.1

将 $- x = - y^{2} - 2 y$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{- 2 y}{- 1}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{- 2 y}{- 1}$

解题步骤 2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{- 2 y}{- 1}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x = \frac{y^{2}}{1} + \frac{- 2 y}{- 1}$

解题步骤 2.3.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$x = y^{2} + \frac{- 2 y}{- 1}$

解题步骤 2.3.1.3

移动 $\frac{- 2 y}{- 1}$ 中分母的负号。

$x = y^{2} - 1 \cdot (- 2 y)$

解题步骤 2.3.1.4

将 $- 1 \cdot (- 2 y)$ 重写为 $- (- 2 y)$ 。

$x = y^{2} - (- 2 y)$

解题步骤 2.3.1.5

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$x = y^{2} + 2 y$

解题步骤 3

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 3.1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 3.1.1

对 $y^{2} + 2 y$ 进行配方。

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解题步骤 3.1.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

解题步骤 3.1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 3.1.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 3.1.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.3.2.1

约去公因数。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.1.3.2.2

重写表达式。

$d = 1$

解题步骤 3.1.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 3.1.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.1.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.4.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

解题步骤 3.1.1.4.2.1.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.4.2.1.3.1

约去公因数。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

解题步骤 3.1.1.4.2.1.3.2

重写表达式。

$e = 0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.1.1.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - 1$

解题步骤 3.1.1.4.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$e = - 1$

解题步骤 3.1.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(y + 1)}^{2} - 1$ 。

${(y + 1)}^{2} - 1$

解题步骤 3.1.2

将 $x$ 设为等于右边新的值。

$x = {(y + 1)}^{2} - 1$

解题步骤 3.2

使用顶点式 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = 1$

$h = - 1$

$k = - 1$

解题步骤 3.3

因为 $a$ 的值是正数，所以该抛物线开口向右。

开口向右

解题步骤 3.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(- 1, - 1)$

解题步骤 3.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 3.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 3.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.3

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{4}$

解题步骤 3.6

求焦点。

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解题步骤 3.6.1

如果抛物线开口向左或向右，则可通过让 $p$ 加上 X 轴坐标 $h$ 求得抛物线的焦点。

$(h + p, k)$

解题步骤 3.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- \frac{3}{4}, - 1)$

解题步骤 3.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$y = - 1$

解题步骤 3.8

求准线。

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解题步骤 3.8.1

如果抛物线开口向左或向右，那么抛物线的准线为通过从顶点的 x 坐标 $h$ 减去 $p$ 求得的正垂线。

$x = h - p$

解题步骤 3.8.2

将 $p$ 和 $h$ 的已知值代入公式并化简。

$x = - \frac{5}{4}$

解题步骤 3.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向右

顶点： $(- 1, - 1)$

焦点： $(- \frac{3}{4}, - 1)$

对称轴： $y = - 1$

准线： $x = - \frac{5}{4}$

方向：开口向右

顶点： $(- 1, - 1)$

焦点： $(- \frac{3}{4}, - 1)$

对称轴： $y = - 1$

准线： $x = - \frac{5}{4}$

解题步骤 4

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 4.1

将 $x$ 的值 $0$ 代入 $f (x) = - 1 + \sqrt{1 + x}$ 。在本例中，该点为 $(0, 0)$ 。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = - 1 + \sqrt{1 + 0}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

去掉圆括号。

$f (0) = - 1 + \sqrt{1 + 0}$

解题步骤 4.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = - 1 + \sqrt{1}$

解题步骤 4.1.2.2.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (0) = - 1 + 1$

解题步骤 4.1.2.3

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 4.1.2.4

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 4.1.3

把 $0$ 转换成小数。

$= 0$

解题步骤 4.2

将 $x$ 的值 $0$ 代入 $f (x) = - 1 - \sqrt{1 + x}$ 。在本例中，该点为 $(0, - 2)$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = - 1 - \sqrt{1 + 0}$

解题步骤 4.2.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.2.1

去掉圆括号。

$f (0) = - 1 - \sqrt{1 + 0}$

解题步骤 4.2.2.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.2.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = - 1 - \sqrt{1}$

解题步骤 4.2.2.2.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (0) = - 1 - 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (0) = - 1 - 1$

解题步骤 4.2.2.3

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$f (0) = - 2$

解题步骤 4.2.2.4

最终答案为 $- 2$ 。

$y = - 2$

解题步骤 4.2.3

把 $- 2$ 转换成小数。

$= - 2$

解题步骤 4.3

将 $x$ 的值 $1$ 代入 $f (x) = - 1 + \sqrt{1 + x}$ 。在本例中，该点为 $(1, 0.41421356)$ 。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = - 1 + \sqrt{1 + 1}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

去掉圆括号。

$f (1) = - 1 + \sqrt{1 + 1}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = - 1 + \sqrt{2}$

解题步骤 4.3.2.3

最终答案为 $- 1 + \sqrt{2}$ 。

$y = - 1 + \sqrt{2}$

解题步骤 4.3.3

把 $- 1 + \sqrt{2}$ 转换成小数。

$= 0.41421356$

解题步骤 4.4

将 $x$ 的值 $1$ 代入 $f (x) = - 1 - \sqrt{1 + x}$ 。在本例中，该点为 $(1, - 2.41421356)$ 。

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解题步骤 4.4.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = - 1 - \sqrt{1 + 1}$

解题步骤 4.4.2

化简结果。

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解题步骤 4.4.2.1

去掉圆括号。

$f (1) = - 1 - \sqrt{1 + 1}$

解题步骤 4.4.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = - 1 - \sqrt{2}$

解题步骤 4.4.2.3

最终答案为 $- 1 - \sqrt{2}$ 。

$y = - 1 - \sqrt{2}$

解题步骤 4.4.3

把 $- 1 - \sqrt{2}$ 转换成小数。

$= - 2.41421356$

解题步骤 4.5

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & - 2 \\ 1 & 0.41 \\ 1 & - 2.41 \end{array}$

解题步骤 5

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向右

顶点： $(- 1, - 1)$

焦点： $(- \frac{3}{4}, - 1)$

对称轴： $y = - 1$

准线： $x = - \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & - 2 \\ 1 & 0.41 \\ 1 & - 2.41 \end{array}$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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