初级微积分示例

$16 x^{2} + 9 y^{2} - 32 x + 72 y + 16 = 0$

解题步骤 1

求椭圆的标准形式。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $16$ 。

$16 x^{2} + 9 y^{2} - 32 x + 72 y = - 16$

解题步骤 1.2

对 $16 x^{2} - 32 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 16$

$b = - 32$

$c = 0$

解题步骤 1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 16}$

解题步骤 1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $- 32$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

从 $- 32$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 16}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 16$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (16)}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 16}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 16}{16}$

解题步骤 1.2.3.2.2

约去 $- 16$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

从 $- 16$ 中分解出因数 $16$ 。

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $16$ 。

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16 (1)}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 1}{1}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$d = - 1$

解题步骤 1.2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 16}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

对 $- 32$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 16}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$e = 0 - \frac{1024}{64}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

用 $1024$ 除以 $64$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 16$

解题步骤 1.2.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$e = 0 - 16$

解题步骤 1.2.4.2.2

从 $0$ 中减去 $16$ 。

$e = - 16$

解题步骤 1.2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $16 {(x - 1)}^{2} - 16$ 。

$16 {(x - 1)}^{2} - 16$

解题步骤 1.3

在方程 $16 x^{2} + 9 y^{2} - 32 x + 72 y = - 16$ 中，用 $16 {(x - 1)}^{2} - 16$ 代替 $16 x^{2} - 32 x$ 。

$16 {(x - 1)}^{2} - 16 + 9 y^{2} + 72 y = - 16$

解题步骤 1.4

通过在等式两边同时加上 $16$ 的方法来将 $- 16$ 移到等式右边。

$16 {(x - 1)}^{2} + 9 y^{2} + 72 y = - 16 + 16$

解题步骤 1.5

对 $9 y^{2} + 72 y$ 进行配方。

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解题步骤 1.5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 9$

$b = 72$

$c = 0$

解题步骤 1.5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{72}{2 \cdot 9}$

解题步骤 1.5.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.3.2.1

约去 $72$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.1

从 $72$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 9}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 9$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 36}{2 (9)}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 9}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{36}{9}$

解题步骤 1.5.3.2.2

约去 $36$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.2.1

从 $36$ 中分解出因数 $9$ 。

$d = \frac{9 \cdot 4}{9}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.2.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$d = \frac{9 \cdot 4}{9 (1)}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{4}{1}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$d = 4$

解题步骤 1.5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{72^{2}}{4 \cdot 9}$

解题步骤 1.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.2.1.1

对 $72$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{5184}{4 \cdot 9}$

解题步骤 1.5.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$e = 0 - \frac{5184}{36}$

解题步骤 1.5.4.2.1.3

用 $5184$ 除以 $36$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 144$

解题步骤 1.5.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $144$ 。

$e = 0 - 144$

解题步骤 1.5.4.2.2

从 $0$ 中减去 $144$ 。

$e = - 144$

解题步骤 1.5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $9 {(y + 4)}^{2} - 144$ 。

$9 {(y + 4)}^{2} - 144$

解题步骤 1.6

在方程 $16 x^{2} + 9 y^{2} - 32 x + 72 y = - 16$ 中，用 $9 {(y + 4)}^{2} - 144$ 代替 $9 y^{2} + 72 y$ 。

$16 {(x - 1)}^{2} + 9 {(y + 4)}^{2} - 144 = - 16 + 16$

解题步骤 1.7

通过在等式两边同时加上 $144$ 的方法来将 $- 144$ 移到等式右边。

$16 {(x - 1)}^{2} + 9 {(y + 4)}^{2} = - 16 + 16 + 144$

解题步骤 1.8

化简 $- 16 + 16 + 144$ 。

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解题步骤 1.8.1

将 $- 16$ 和 $16$ 相加。

$16 {(x - 1)}^{2} + 9 {(y + 4)}^{2} = 0 + 144$

解题步骤 1.8.2

将 $0$ 和 $144$ 相加。

$16 {(x - 1)}^{2} + 9 {(y + 4)}^{2} = 144$

解题步骤 1.9

将每一项除以 $144$ 以使方程右边等于一。

$\frac{16 {(x - 1)}^{2}}{144} + \frac{9 {(y + 4)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

解题步骤 1.10

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{16} = 1$

解题步骤 2

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $a$ 表示椭圆长轴的半径， $b$ 表示椭圆短轴的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$a = 4$

$b = 3$

$k = - 4$

$h = 1$

解题步骤 4

椭圆的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(1, - 4)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从椭圆中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(3)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16 - {(3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16 - 1 \cdot 9}$

解题步骤 5.3.3

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\sqrt{16 - 9}$

解题步骤 5.3.4

从 $16$ 中减去 $9$ 。

$\sqrt{7}$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

椭圆的第一个顶点可通过 $k$ 加上 $a$ 求得。

$(h, k + a)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(1, - 4 + 4)$

解题步骤 6.3

化简。

$(1, 0)$

解题步骤 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

解题步骤 6.5

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(1, - 4 - (4))$

解题步骤 6.6

化简。

$(1, - 8)$

解题步骤 6.7

椭圆形有两个顶点。

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 8)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $k$ 求得。

$(h, k + c)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(1, - 4 + \sqrt{7})$

解题步骤 7.3

椭圆的第一个焦点可通过 $k$ 减去 $c$ 求得。

$(h, k - c)$

解题步骤 7.4

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(1, - 4 - (\sqrt{7}))$

解题步骤 7.5

化简。

$(1, - 4 - \sqrt{7})$

解题步骤 7.6

椭圆形有两个焦点。

${Focus}_{1}$ : $(1, - 4 + \sqrt{7})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 4 - \sqrt{7})$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 4 + \sqrt{7})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 4 - \sqrt{7})$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(3)}^{2}}}{4}$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{16 - 3^{2}}}{4}$

解题步骤 8.3.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 9}}{4}$

解题步骤 8.3.3

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\frac{\sqrt{16 - 9}}{4}$

解题步骤 8.3.4

从 $16$ 中减去 $9$ 。

$\frac{\sqrt{7}}{4}$

解题步骤 9

这些值代表的是绘制和分析椭圆时的重要数值。

中心点： $(1, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 8)$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 4 + \sqrt{7})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 4 - \sqrt{7})$

离心率： $\frac{\sqrt{7}}{4}$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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