初级微积分示例

$x^{2} + y^{2} + 10 x - 2 y = 23$

解题步骤 1

对 $x^{2} + 10 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 10$

$c = 0$

解题步骤 1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{10}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2

约去 $10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.2.2.1

从 $2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

解题步骤 1.3.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{5}{1}$

解题步骤 1.3.2.2.4

用 $5$ 除以 $1$ 。

$d = 5$

解题步骤 1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.1.1

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{100}{4}$

解题步骤 1.4.2.1.3

用 $100$ 除以 $4$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 25$

解题步骤 1.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$e = 0 - 25$

解题步骤 1.4.2.2

从 $0$ 中减去 $25$ 。

$e = - 25$

解题步骤 1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x + 5)}^{2} - 25$ 。

${(x + 5)}^{2} - 25$

解题步骤 2

在方程 $x^{2} + y^{2} + 10 x - 2 y = 23$ 中，用 ${(x + 5)}^{2} - 25$ 代替 $x^{2} + 10 x$ 。

${(x + 5)}^{2} - 25 + y^{2} - 2 y = 23$

解题步骤 3

通过在等式两边同时加上 $25$ 的方法来将 $- 25$ 移到等式右边。

${(x + 5)}^{2} + y^{2} - 2 y = 23 + 25$

解题步骤 4

对 $y^{2} - 2 y$ 进行配方。

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解题步骤 4.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

解题步骤 4.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 4.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.2.1

从 $2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

解题步骤 4.3.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 1}{1}$

解题步骤 4.3.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$d = - 1$

解题步骤 4.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 4.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.2

化简右边。

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解题步骤 4.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

解题步骤 4.4.2.1.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.1.3.1

约去公因数。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

解题步骤 4.4.2.1.3.2

重写表达式。

$e = 0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 4.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - 1$

解题步骤 4.4.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$e = - 1$

解题步骤 4.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(y - 1)}^{2} - 1$ 。

${(y - 1)}^{2} - 1$

解题步骤 5

在方程 $x^{2} + y^{2} + 10 x - 2 y = 23$ 中，用 ${(y - 1)}^{2} - 1$ 代替 $y^{2} - 2 y$ 。

${(x + 5)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 1 = 23 + 25$

解题步骤 6

通过在等式两边同时加上 $1$ 的方法来将 $- 1$ 移到等式右边。

${(x + 5)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 23 + 25 + 1$

解题步骤 7

化简 $23 + 25 + 1$ 。

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解题步骤 7.1

将 $23$ 和 $25$ 相加。

${(x + 5)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 48 + 1$

解题步骤 7.2

将 $48$ 和 $1$ 相加。

${(x + 5)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 49$

解题步骤 8

这是圆的形式。使用此形式可确定圆心和圆半径。

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

解题步骤 9

将该圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $r$ 表示圆的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$r = 7$

$h = - 5$

$k = 1$

解题步骤 10

该圆的圆心求得为 $(h, k)$ 。

中心点： $(- 5, 1)$

解题步骤 11

这些值代表的是绘制和分析圆时的重要数值。

中心点： $(- 5, 1)$

半径： $7$

解题步骤 12

初级微积分 示例

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