初级微积分示例

$y = - x^{2} + 10 x - 30$

解题步骤 1

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 1.1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 1.1.1

对 $- x^{2} + 10 x - 30$ 进行配方。

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解题步骤 1.1.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 1$

$b = 10$

$c = - 30$

解题步骤 1.1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.1.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.1.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{10}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 1.1.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1

约去 $10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2

移动 $\frac{5}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot 5$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$d = - 5$

解题步骤 1.1.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.1.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = - 30 - \frac{10^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1.1

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = - 30 - \frac{100}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$e = - 30 - \frac{100}{- 4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.3

用 $100$ 除以 $- 4$ 。

$e = - 30 - - 25$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 25$ 。

$e = - 30 + 25$

解题步骤 1.1.1.4.2.2

将 $- 30$ 和 $25$ 相加。

$e = - 5$

解题步骤 1.1.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- {(x - 5)}^{2} - 5$ 。

$- {(x - 5)}^{2} - 5$

解题步骤 1.1.2

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = - {(x - 5)}^{2} - 5$

解题步骤 1.2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = - 1$

$h = 5$

$k = - 5$

解题步骤 1.3

因为 $a$ 的值是负数，所以该抛物线开口向下。

开口向下

解题步骤 1.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(5, - 5)$

解题步骤 1.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 1.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 1.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.5.3

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.5.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{4}$

解题步骤 1.6

求焦点。

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解题步骤 1.6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 1.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(5, - \frac{21}{4})$

解题步骤 1.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = 5$

解题步骤 1.8

求准线。

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解题步骤 1.8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 1.8.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = - \frac{19}{4}$

解题步骤 1.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(5, - 5)$

焦点： $(5, - \frac{21}{4})$

对称轴： $x = 5$

准线： $y = - \frac{19}{4}$

方向：开口向下

顶点： $(5, - 5)$

焦点： $(5, - \frac{21}{4})$

对称轴： $x = 5$

准线： $y = - \frac{19}{4}$

解题步骤 2

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = - {(4)}^{2} + 10 (4) - 30$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (4) = - 1 \cdot 16 + 10 (4) - 30$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$f (4) = - 16 + 10 (4) - 30$

解题步骤 2.2.1.3

将 $10$ 乘以 $4$ 。

$f (4) = - 16 + 40 - 30$

解题步骤 2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $- 16$ 和 $40$ 相加。

$f (4) = 24 - 30$

解题步骤 2.2.2.2

从 $24$ 中减去 $30$ 。

$f (4) = - 6$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $- 6$ 。

$- 6$

解题步骤 2.3

$y$ 在 $x = 4$ 处的值为 $- 6$ 。

$y = - 6$

解题步骤 2.4

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = - {(3)}^{2} + 10 (3) - 30$

解题步骤 2.5

化简结果。

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解题步骤 2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 10 (3) - 30$

解题步骤 2.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$f (3) = - 9 + 10 (3) - 30$

解题步骤 2.5.1.3

将 $10$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = - 9 + 30 - 30$

解题步骤 2.5.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $- 9$ 和 $30$ 相加。

$f (3) = 21 - 30$

解题步骤 2.5.2.2

从 $21$ 中减去 $30$ 。

$f (3) = - 9$

解题步骤 2.5.3

最终答案为 $- 9$ 。

$- 9$

解题步骤 2.6

$y$ 在 $x = 3$ 处的值为 $- 9$ 。

$y = - 9$

解题步骤 2.7

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f (6) = - {(6)}^{2} + 10 (6) - 30$

解题步骤 2.8

化简结果。

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解题步骤 2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (6) = - 1 \cdot 36 + 10 (6) - 30$

解题步骤 2.8.1.2

将 $- 1$ 乘以 $36$ 。

$f (6) = - 36 + 10 (6) - 30$

解题步骤 2.8.1.3

将 $10$ 乘以 $6$ 。

$f (6) = - 36 + 60 - 30$

解题步骤 2.8.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.8.2.1

将 $- 36$ 和 $60$ 相加。

$f (6) = 24 - 30$

解题步骤 2.8.2.2

从 $24$ 中减去 $30$ 。

$f (6) = - 6$

解题步骤 2.8.3

最终答案为 $- 6$ 。

$- 6$

解题步骤 2.9

$y$ 在 $x = 6$ 处的值为 $- 6$ 。

$y = - 6$

解题步骤 2.10

使用表达式中的 $7$ 替换变量 $x$ 。

$f (7) = - {(7)}^{2} + 10 (7) - 30$

解题步骤 2.11

化简结果。

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解题步骤 2.11.1

化简每一项。

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解题步骤 2.11.1.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (7) = - 1 \cdot 49 + 10 (7) - 30$

解题步骤 2.11.1.2

将 $- 1$ 乘以 $49$ 。

$f (7) = - 49 + 10 (7) - 30$

解题步骤 2.11.1.3

将 $10$ 乘以 $7$ 。

$f (7) = - 49 + 70 - 30$

解题步骤 2.11.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.11.2.1

将 $- 49$ 和 $70$ 相加。

$f (7) = 21 - 30$

解题步骤 2.11.2.2

从 $21$ 中减去 $30$ 。

$f (7) = - 9$

解题步骤 2.11.3

最终答案为 $- 9$ 。

$- 9$

解题步骤 2.12

$y$ 在 $x = 7$ 处的值为 $- 9$ 。

$y = - 9$

解题步骤 2.13

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & - 9 \\ 4 & - 6 \\ 5 & - 5 \\ 6 & - 6 \\ 7 & - 9 \end{array}$

解题步骤 3

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(5, - 5)$

焦点： $(5, - \frac{21}{4})$

对称轴： $x = 5$

准线： $y = - \frac{19}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & - 9 \\ 4 & - 6 \\ 5 & - 5 \\ 6 & - 6 \\ 7 & - 9 \end{array}$

解题步骤 4

初级微积分 示例

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