初级微积分示例

$y = 2 \cos (x - \frac{π}{3})$

解题步骤 1

使用 $a \cos (b x - c) + d$ 的形式求用于求振幅、周期、相移和垂直位移的变量。

$a = 2$

$b = 1$

$c = \frac{π}{3}$

$d = 0$

解题步骤 2

求振幅 $| a |$ 。

振幅： $2$

解题步骤 3

求 $2 \cos (x - \frac{π}{3})$ 的周期。

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解题步骤 3.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4

使用公式 $\frac{c}{b}$ 求相移。

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解题步骤 4.1

函数的相移可通过 $\frac{c}{b}$ 计算。

相移： $\frac{c}{b}$

解题步骤 4.2

替换相移方程中 $c$ 和 $b$ 的值。

相移： $\frac{\frac{π}{3}}{1}$

解题步骤 4.3

用 $\frac{π}{3}$ 除以 $1$ 。

相移： $\frac{π}{3}$

解题步骤 5

列出三角函数的性质。

振幅： $2$

周期： $2 π$

相移： $\frac{π}{3}$ （ $\frac{π}{3}$ 向右移）

垂直位移：无

解题步骤 6

选择某些点来画图。

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解题步骤 6.1

求在 $x = \frac{π}{3}$ 处的点。

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解题步骤 6.1.1

使用表达式中的 $\frac{π}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{3})$

解题步骤 6.1.2

化简结果。

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解题步骤 6.1.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{π - π}{3})$

解题步骤 6.1.2.2

从 $π$ 中减去 $π$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{0}{3})$

解题步骤 6.1.2.3

用 $0$ 除以 $3$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (0)$

解题步骤 6.1.2.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cdot 1$

解题步骤 6.1.2.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 2$

解题步骤 6.1.2.6

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 6.2

求在 $x = \frac{5 π}{6}$ 处的点。

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解题步骤 6.2.1

使用表达式中的 $\frac{5 π}{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos ((\frac{5 π}{6}) - \frac{π}{3})$

解题步骤 6.2.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.2.1

要将 $- \frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 6.2.2.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 6.2.2.2.1

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

解题步骤 6.2.2.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6})$

解题步骤 6.2.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π - π \cdot 2}{6})$

解题步骤 6.2.2.4

化简分子。

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解题步骤 6.2.2.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π - 2 π}{6})$

解题步骤 6.2.2.4.2

从 $5 π$ 中减去 $2 π$ 。

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 π}{6})$

解题步骤 6.2.2.5

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.5.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 (π)}{6})$

解题步骤 6.2.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.5.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

解题步骤 6.2.2.5.2.2

约去公因数。

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

解题步骤 6.2.2.5.2.3

重写表达式。

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{2})$

解题步骤 6.2.2.6

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cdot 0$

解题步骤 6.2.2.7

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (\frac{5 π}{6}) = 0$

解题步骤 6.2.2.8

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 6.3

求在 $x = \frac{4 π}{3}$ 处的点。

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解题步骤 6.3.1

使用表达式中的 $\frac{4 π}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos ((\frac{4 π}{3}) - \frac{π}{3})$

解题步骤 6.3.2

化简结果。

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解题步骤 6.3.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (\frac{4 π - π}{3})$

解题步骤 6.3.2.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

解题步骤 6.3.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.3.1

约去公因数。

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

解题步骤 6.3.2.3.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (π)$

解题步骤 6.3.2.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (- \cos (0))$

解题步骤 6.3.2.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 6.3.2.6

乘以 $2 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 6.3.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cdot - 1$

解题步骤 6.3.2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2$

解题步骤 6.3.2.7

最终答案为 $- 2$ 。

$- 2$

解题步骤 6.4

求在 $x = \frac{11 π}{6}$ 处的点。

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解题步骤 6.4.1

使用表达式中的 $\frac{11 π}{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos ((\frac{11 π}{6}) - \frac{π}{3})$

解题步骤 6.4.2

化简结果。

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解题步骤 6.4.2.1

要将 $- \frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 6.4.2.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 6.4.2.2.1

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

解题步骤 6.4.2.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6})$

解题步骤 6.4.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{11 π - π \cdot 2}{6})$

解题步骤 6.4.2.4

化简分子。

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解题步骤 6.4.2.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{11 π - 2 π}{6})$

解题步骤 6.4.2.4.2

从 $11 π$ 中减去 $2 π$ 。

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{9 π}{6})$

解题步骤 6.4.2.5

约去 $9$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.5.1

从 $9 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{6})$

解题步骤 6.4.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 6.4.2.5.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

解题步骤 6.4.2.5.2.2

约去公因数。

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

解题步骤 6.4.2.5.2.3

重写表达式。

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 6.4.2.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{2})$

解题步骤 6.4.2.7

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cdot 0$

解题步骤 6.4.2.8

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (\frac{11 π}{6}) = 0$

解题步骤 6.4.2.9

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 6.5

求在 $x = \frac{7 π}{3}$ 处的点。

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解题步骤 6.5.1

使用表达式中的 $\frac{7 π}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos ((\frac{7 π}{3}) - \frac{π}{3})$

解题步骤 6.5.2

化简结果。

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解题步骤 6.5.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (\frac{7 π - π}{3})$

解题步骤 6.5.2.2

从 $7 π$ 中减去 $π$ 。

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (\frac{6 π}{3})$

解题步骤 6.5.2.3

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.2.3.1

从 $6 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 (2 π)}{3})$

解题步骤 6.5.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.5.2.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})$

解题步骤 6.5.2.3.2.2

约去公因数。

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})$

解题步骤 6.5.2.3.2.3

重写表达式。

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (\frac{2 π}{1})$

解题步骤 6.5.2.3.2.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (2 π)$

解题步骤 6.5.2.4

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (0)$

解题步骤 6.5.2.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cdot 1$

解题步骤 6.5.2.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{7 π}{3}) = 2$

解题步骤 6.5.2.7

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 6.6

列出表中的点。

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{3} & 2 \\ \frac{5 π}{6} & 0 \\ \frac{4 π}{3} & - 2 \\ \frac{11 π}{6} & 0 \\ \frac{7 π}{3} & 2 \end{array}$

解题步骤 7

三角函数可通过振幅、周期、相移、垂直位移和相关点来绘制出其图象。

振幅： $2$

周期： $2 π$

相移： $\frac{π}{3}$ （ $\frac{π}{3}$ 向右移）

垂直位移：无

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{3} & 2 \\ \frac{5 π}{6} & 0 \\ \frac{4 π}{3} & - 2 \\ \frac{11 π}{6} & 0 \\ \frac{7 π}{3} & 2 \end{array}$

解题步骤 8

初级微积分 示例

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