初级微积分示例

$y = - 2 \cos (\frac{2}{3} x)$

解题步骤 1

使用 $a \cos (b x - c) + d$ 的形式求用于求振幅、周期、相移和垂直位移的变量。

$a = - 2$

$b = \frac{2}{3}$

$c = 0$

$d = 0$

解题步骤 2

求振幅 $| a |$ 。

振幅： $2$

解题步骤 3

求 $- 2 \cos (\frac{2 x}{3})$ 的周期。

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解题步骤 3.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2

使用周期公式中的 $\frac{2}{3}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{2}{3} |}$

解题步骤 3.3

$\frac{2}{3}$ 约为 $0.\overline{6}$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \frac{3}{2}$

解题步骤 3.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (π) \frac{3}{2}$

解题步骤 3.5.2

约去公因数。

$2 π \frac{3}{2}$

解题步骤 3.5.3

重写表达式。

$π \cdot 3$

解题步骤 3.6

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$3 π$

解题步骤 4

使用公式 $\frac{c}{b}$ 求相移。

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解题步骤 4.1

函数的相移可通过 $\frac{c}{b}$ 计算。

相移： $\frac{c}{b}$

解题步骤 4.2

替换相移方程中 $c$ 和 $b$ 的值。

相移： $\frac{0}{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.3

将分子乘以分母的倒数。

相移： $0 (\frac{3}{2})$

解题步骤 4.4

将 $0$ 乘以 $\frac{3}{2}$ 。

相移： $0$

解题步骤 5

列出三角函数的性质。

振幅： $2$

周期： $3 π$

相移：无

垂直位移：无

解题步骤 6

选择某些点来画图。

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解题步骤 6.1

求在 $x = 0$ 处的点。

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解题步骤 6.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = - 2 \cos (\frac{2 (0)}{3})$

解题步骤 6.1.2

化简结果。

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解题步骤 6.1.2.1

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.2.1.1

从 $2 (0)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (0) = - 2 \cos (\frac{3 (2 \cdot (0))}{3})$

解题步骤 6.1.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.2.1.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (0) = - 2 \cos (\frac{3 (2 \cdot (0))}{3 (1)})$

解题步骤 6.1.2.1.2.2

约去公因数。

$f (0) = - 2 \cos (\frac{3 (2 \cdot (0))}{3 \cdot 1})$

解题步骤 6.1.2.1.2.3

重写表达式。

$f (0) = - 2 \cos (\frac{2 \cdot (0)}{1})$

解题步骤 6.1.2.1.2.4

用 $2 \cdot (0)$ 除以 $1$ 。

$f (0) = - 2 \cos (2 \cdot (0))$

解题步骤 6.1.2.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = - 2 \cos (0)$

解题步骤 6.1.2.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (0) = - 2 \cdot 1$

解题步骤 6.1.2.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f (0) = - 2$

解题步骤 6.1.2.5

最终答案为 $- 2$ 。

$- 2$

解题步骤 6.2

求在 $x = \frac{3 π}{4}$ 处的点。

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解题步骤 6.2.1

使用表达式中的 $\frac{3 π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{2 (\frac{3 π}{4})}{3})$

解题步骤 6.2.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{3 π}{4}$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})$

解题步骤 6.2.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{6 π}{4}}{3})$

解题步骤 6.2.2.3

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{6 π}{4}$ 。

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解题步骤 6.2.2.3.1

从 $6 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})$

解题步骤 6.2.2.3.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (2)}}{3})$

解题步骤 6.2.2.3.3

约去公因数。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}}{3})$

解题步骤 6.2.2.3.4

重写表达式。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})$

解题步骤 6.2.2.4

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 6.2.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.5.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 6.2.2.5.2

约去公因数。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 6.2.2.5.3

重写表达式。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{π}{2})$

解题步骤 6.2.2.6

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cdot 0$

解题步骤 6.2.2.7

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

解题步骤 6.2.2.8

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 6.3

求在 $x = \frac{3 π}{2}$ 处的点。

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解题步骤 6.3.1

使用表达式中的 $\frac{3 π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{2 (\frac{3 π}{2})}{3})$

解题步骤 6.3.2

化简结果。

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解题步骤 6.3.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{3 π}{2}$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2}}{3})$

解题步骤 6.3.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{6 π}{2}}{3})$

解题步骤 6.3.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.3.2.3.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{6 π}{2}$ 。

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解题步骤 6.3.2.3.1.1

从 $6 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2}}{3})$

解题步骤 6.3.2.3.1.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (1)}}{3})$

解题步骤 6.3.2.3.1.3

约去公因数。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 1}}{3})$

解题步骤 6.3.2.3.1.4

重写表达式。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 π}{1}}{3})$

解题步骤 6.3.2.3.2

用 $3 π$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

解题步骤 6.3.2.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.4.1

约去公因数。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

解题步骤 6.3.2.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (π)$

解题步骤 6.3.2.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 (- \cos (0))$

解题步骤 6.3.2.6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 6.3.2.7

乘以 $- 2 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 6.3.2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cdot - 1$

解题步骤 6.3.2.7.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2$

解题步骤 6.3.2.8

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 6.4

求在 $x = \frac{9 π}{4}$ 处的点。

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解题步骤 6.4.1

使用表达式中的 $\frac{9 π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{2 (\frac{9 π}{4})}{3})$

解题步骤 6.4.2

化简结果。

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解题步骤 6.4.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{9 π}{4}$ 。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})$

解题步骤 6.4.2.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{18 π}{4}}{3})$

解题步骤 6.4.2.3

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{18 π}{4}$ 。

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解题步骤 6.4.2.3.1

从 $18 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})$

解题步骤 6.4.2.3.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 (2)}}{3})$

解题步骤 6.4.2.3.3

约去公因数。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 \cdot 2}}{3})$

解题步骤 6.4.2.3.4

重写表达式。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})$

解题步骤 6.4.2.4

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 6.4.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.5.1

从 $9 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 6.4.2.5.2

约去公因数。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 6.4.2.5.3

重写表达式。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 6.4.2.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{π}{2})$

解题步骤 6.4.2.7

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cdot 0$

解题步骤 6.4.2.8

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$f (\frac{9 π}{4}) = 0$

解题步骤 6.4.2.9

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 6.5

求在 $x = 3 π$ 处的点。

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解题步骤 6.5.1

使用表达式中的 $3 π$ 替换变量 $x$ 。

$f (3 π) = - 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{3})$

解题步骤 6.5.2

化简结果。

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解题步骤 6.5.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.2.1.1

约去公因数。

$f (3 π) = - 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{3})$

解题步骤 6.5.2.1.2

用 $2 (π)$ 除以 $1$ 。

$f (3 π) = - 2 \cos (2 (π))$

解题步骤 6.5.2.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (3 π) = - 2 \cos (0)$

解题步骤 6.5.2.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (3 π) = - 2 \cdot 1$

解题步骤 6.5.2.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f (3 π) = - 2$

解题步骤 6.5.2.5

最终答案为 $- 2$ 。

$- 2$

解题步骤 6.6

列出表中的点。

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - 2 \\ \frac{3 π}{4} & 0 \\ \frac{3 π}{2} & 2 \\ \frac{9 π}{4} & 0 \\ 3 π & - 2 \end{array}$

解题步骤 7

三角函数可通过振幅、周期、相移、垂直位移和相关点来绘制出其图象。

振幅： $2$

周期： $3 π$

相移：无

垂直位移：无

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - 2 \\ \frac{3 π}{4} & 0 \\ \frac{3 π}{2} & 2 \\ \frac{9 π}{4} & 0 \\ 3 π & - 2 \end{array}$

解题步骤 8

初级微积分 示例

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