初级微积分示例

$y + 2 = - 2 {(x + 3)}^{2}$

解题步骤 1

确定给定抛物线的性质。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$y = - 2 {(x + 3)}^{2} - 2$

解题步骤 1.2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = - 2$

$h = - 3$

$k = - 2$

解题步骤 1.3

因为 $a$ 的值是负数，所以该抛物线开口向下。

开口向下

解题步骤 1.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(- 3, - 2)$

解题步骤 1.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 1.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

解题步骤 1.5.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.3.1

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{- 8}$

解题步骤 1.5.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{8}$

解题步骤 1.6

求焦点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 1.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 3, - \frac{17}{8})$

解题步骤 1.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = - 3$

解题步骤 1.8

求准线。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 1.8.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = - \frac{15}{8}$

解题步骤 1.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(- 3, - 2)$

焦点： $(- 3, - \frac{17}{8})$

对称轴： $x = - 3$

准线： $y = - \frac{15}{8}$

方向：开口向下

顶点： $(- 3, - 2)$

焦点： $(- 3, - \frac{17}{8})$

对称轴： $x = - 3$

准线： $y = - \frac{15}{8}$

解题步骤 2

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 4) = - 2 {(- 4)}^{2} - 12 \cdot - 4 - 20$

解题步骤 2.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 4) = - 2 \cdot 16 - 12 \cdot - 4 - 20$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $16$ 。

$f (- 4) = - 32 - 12 \cdot - 4 - 20$

解题步骤 2.2.1.3

将 $- 12$ 乘以 $- 4$ 。

$f (- 4) = - 32 + 48 - 20$

解题步骤 2.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

将 $- 32$ 和 $48$ 相加。

$f (- 4) = 16 - 20$

解题步骤 2.2.2.2

从 $16$ 中减去 $20$ 。

$f (- 4) = - 4$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $- 4$ 。

$- 4$

解题步骤 2.3

$y$ 在 $x = - 4$ 处的值为 $- 4$ 。

$y = - 4$

解题步骤 2.4

使用表达式中的 $- 5$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 5) = - 2 {(- 5)}^{2} - 12 \cdot - 5 - 20$

解题步骤 2.5

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1.1

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 5) = - 2 \cdot 25 - 12 \cdot - 5 - 20$

解题步骤 2.5.1.2

将 $- 2$ 乘以 $25$ 。

$f (- 5) = - 50 - 12 \cdot - 5 - 20$

解题步骤 2.5.1.3

将 $- 12$ 乘以 $- 5$ 。

$f (- 5) = - 50 + 60 - 20$

解题步骤 2.5.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.1

将 $- 50$ 和 $60$ 相加。

$f (- 5) = 10 - 20$

解题步骤 2.5.2.2

从 $10$ 中减去 $20$ 。

$f (- 5) = - 10$

解题步骤 2.5.3

最终答案为 $- 10$ 。

$- 10$

解题步骤 2.6

$y$ 在 $x = - 5$ 处的值为 $- 10$ 。

$y = - 10$

解题步骤 2.7

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = - 2 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 - 20$

解题步骤 2.8

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.1.1

通过指数相加将 $- 2$ 乘以 ${(- 2)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.1.1.1

将 $- 2$ 乘以 ${(- 2)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.1.1.1.1

对 $- 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- 2) = (- 2) {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 - 20$

解题步骤 2.8.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- 2) = {(- 2)}^{1 + 2} - 12 \cdot - 2 - 20$

解题步骤 2.8.1.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2 - 20$

解题步骤 2.8.1.2

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 2) = - 8 - 12 \cdot - 2 - 20$

解题步骤 2.8.1.3

将 $- 12$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2) = - 8 + 24 - 20$

解题步骤 2.8.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.2.1

将 $- 8$ 和 $24$ 相加。

$f (- 2) = 16 - 20$

解题步骤 2.8.2.2

从 $16$ 中减去 $20$ 。

$f (- 2) = - 4$

解题步骤 2.8.3

最终答案为 $- 4$ 。

$- 4$

解题步骤 2.9

$y$ 在 $x = - 2$ 处的值为 $- 4$ 。

$y = - 4$

解题步骤 2.10

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = - 2 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1 - 20$

解题步骤 2.11

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.11.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.11.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1) = - 2 \cdot 1 - 12 \cdot - 1 - 20$

解题步骤 2.11.1.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f (- 1) = - 2 - 12 \cdot - 1 - 20$

解题步骤 2.11.1.3

将 $- 12$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 1) = - 2 + 12 - 20$

解题步骤 2.11.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.11.2.1

将 $- 2$ 和 $12$ 相加。

$f (- 1) = 10 - 20$

解题步骤 2.11.2.2

从 $10$ 中减去 $20$ 。

$f (- 1) = - 10$

解题步骤 2.11.3

最终答案为 $- 10$ 。

$- 10$

解题步骤 2.12

$y$ 在 $x = - 1$ 处的值为 $- 10$ 。

$y = - 10$

解题步骤 2.13

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 10 \\ - 4 & - 4 \\ - 3 & - 2 \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 10 \end{array}$

解题步骤 3

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(- 3, - 2)$

焦点： $(- 3, - \frac{17}{8})$

对称轴： $x = - 3$

准线： $y = - \frac{15}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 10 \\ - 4 & - 4 \\ - 3 & - 2 \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 10 \end{array}$

解题步骤 4

初级微积分 示例

初级微积分示例