初级微积分示例

$y = - 3 \cos (π - x) - 2$

解题步骤 1

使用 $a \cos (b x - c) + d$ 的形式求用于求振幅、周期、相移和垂直位移的变量。

$a = - 3$

$b = - 1$

$c = - π$

$d = - 2$

解题步骤 2

求振幅 $| a |$ 。

振幅： $3$

解题步骤 3

使用公式 $\frac{2 π}{| b |}$ 求周期。

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解题步骤 3.1

求 $- 3 \cos (π - x)$ 的周期。

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解题步骤 3.1.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.1.2

使用周期公式中的 $- 1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| - 1 |}$

解题步骤 3.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 1$ 和 $0$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.1.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.2

求 $- 2$ 的周期。

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解题步骤 3.2.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2.2

使用周期公式中的 $- 1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| - 1 |}$

解题步骤 3.2.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 1$ 和 $0$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.2.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.3

三角函数加、减后的周期是每一函数周期的最大值。

$2 π$

解题步骤 4

使用公式 $\frac{c}{b}$ 求相移。

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解题步骤 4.1

函数的相移可通过 $\frac{c}{b}$ 计算。

相移： $\frac{c}{b}$

解题步骤 4.2

替换相移方程中 $c$ 和 $b$ 的值。

相移： $\frac{- π}{- 1}$

解题步骤 4.3

将两个负数相除得到一个正数。

相移： $\frac{π}{1}$

解题步骤 4.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

相移： $π$

解题步骤 5

列出三角函数的性质。

振幅： $3$

周期： $2 π$

相移： $π$ （ $π$ 向右移）

垂直位移： $- 2$

解题步骤 6

选择某些点来画图。

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解题步骤 6.1

求在 $x = π$ 处的点。

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解题步骤 6.1.1

使用表达式中的 $π$ 替换变量 $x$ 。

$f (π) = - 3 \cos (- (π) + π) - 2$

解题步骤 6.1.2

化简结果。

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解题步骤 6.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.2.1.1

将 $- π$ 和 $π$ 相加。

$f (π) = - 3 \cos (0) - 2$

解题步骤 6.1.2.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (π) = - 3 \cdot 1 - 2$

解题步骤 6.1.2.1.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$f (π) = - 3 - 2$

解题步骤 6.1.2.2

从 $- 3$ 中减去 $2$ 。

$f (π) = - 5$

解题步骤 6.1.2.3

最终答案为 $- 5$ 。

$- 5$

解题步骤 6.2

求在 $x = \frac{3 π}{2}$ 处的点。

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解题步骤 6.2.1

使用表达式中的 $\frac{3 π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (- (\frac{3 π}{2}) + π) - 2$

解题步骤 6.2.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (- \frac{3 π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}) - 2$

解题步骤 6.2.2.1.2

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (- \frac{3 π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}) - 2$

解题步骤 6.2.2.1.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{- 3 π + π \cdot 2}{2}) - 2$

解题步骤 6.2.2.1.4

化简分子。

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解题步骤 6.2.2.1.4.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{- 3 π + 2 \cdot π}{2}) - 2$

解题步骤 6.2.2.1.4.2

将 $- 3 π$ 和 $2 π$ 相加。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{- π}{2}) - 2$

解题步骤 6.2.2.1.5

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (- \frac{π}{2}) - 2$

解题步骤 6.2.2.1.6

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{3 π}{2}) - 2$

解题步骤 6.2.2.1.7

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{π}{2}) - 2$

解题步骤 6.2.2.1.8

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cdot 0 - 2$

解题步骤 6.2.2.1.9

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = 0 - 2$

解题步骤 6.2.2.2

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2$

解题步骤 6.2.2.3

最终答案为 $- 2$ 。

$- 2$

解题步骤 6.3

求在 $x = 2 π$ 处的点。

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解题步骤 6.3.1

使用表达式中的 $2 π$ 替换变量 $x$ 。

$f (2 π) = - 3 \cos (- (2 π) + π) - 2$

解题步骤 6.3.2

化简结果。

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解题步骤 6.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (2 π) = - 3 \cos (- 2 π + π) - 2$

解题步骤 6.3.2.1.2

将 $- 2 π$ 和 $π$ 相加。

$f (2 π) = - 3 \cos (- π) - 2$

解题步骤 6.3.2.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (2 π) = - 3 (- \cos (0)) - 2$

解题步骤 6.3.2.1.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (2 π) = - 3 (- 1 \cdot 1) - 2$

解题步骤 6.3.2.1.5

乘以 $- 3 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (2 π) = - 3 \cdot - 1 - 2$

解题步骤 6.3.2.1.5.2

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (2 π) = 3 - 2$

解题步骤 6.3.2.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$f (2 π) = 1$

解题步骤 6.3.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 6.4

求在 $x = \frac{5 π}{2}$ 处的点。

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解题步骤 6.4.1

使用表达式中的 $\frac{5 π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (- (\frac{5 π}{2}) + π) - 2$

解题步骤 6.4.2

化简结果。

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解题步骤 6.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.4.2.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (- \frac{5 π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}) - 2$

解题步骤 6.4.2.1.2

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (- \frac{5 π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}) - 2$

解题步骤 6.4.2.1.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{- 5 π + π \cdot 2}{2}) - 2$

解题步骤 6.4.2.1.4

化简分子。

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解题步骤 6.4.2.1.4.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{- 5 π + 2 \cdot π}{2}) - 2$

解题步骤 6.4.2.1.4.2

将 $- 5 π$ 和 $2 π$ 相加。

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{- 3 π}{2}) - 2$

解题步骤 6.4.2.1.5

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (- \frac{(3) π}{2}) - 2$

解题步骤 6.4.2.1.6

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{π}{2}) - 2$

解题步骤 6.4.2.1.7

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cdot 0 - 2$

解题步骤 6.4.2.1.8

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$f (\frac{5 π}{2}) = 0 - 2$

解题步骤 6.4.2.2

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$f (\frac{5 π}{2}) = - 2$

解题步骤 6.4.2.3

最终答案为 $- 2$ 。

$- 2$

解题步骤 6.5

求在 $x = 3 π$ 处的点。

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解题步骤 6.5.1

使用表达式中的 $3 π$ 替换变量 $x$ 。

$f (3 π) = - 3 \cos (- (3 π) + π) - 2$

解题步骤 6.5.2

化简结果。

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解题步骤 6.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.5.2.1.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (3 π) = - 3 \cos (- 3 π + π) - 2$

解题步骤 6.5.2.1.2

将 $- 3 π$ 和 $π$ 相加。

$f (3 π) = - 3 \cos (- 2 π) - 2$

解题步骤 6.5.2.1.3

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (3 π) = - 3 \cos (0) - 2$

解题步骤 6.5.2.1.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (3 π) = - 3 \cdot 1 - 2$

解题步骤 6.5.2.1.5

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$f (3 π) = - 3 - 2$

解题步骤 6.5.2.2

从 $- 3$ 中减去 $2$ 。

$f (3 π) = - 5$

解题步骤 6.5.2.3

最终答案为 $- 5$ 。

$- 5$

解题步骤 6.6

列出表中的点。

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ π & - 5 \\ \frac{3 π}{2} & - 2 \\ 2 π & 1 \\ \frac{5 π}{2} & - 2 \\ 3 π & - 5 \end{array}$

解题步骤 7

三角函数可通过振幅、周期、相移、垂直位移和相关点来绘制出其图象。

振幅： $3$

周期： $2 π$

相移： $π$ （ $π$ 向右移）

垂直位移： $- 2$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ π & - 5 \\ \frac{3 π}{2} & - 2 \\ 2 π & 1 \\ \frac{5 π}{2} & - 2 \\ 3 π & - 5 \end{array}$

解题步骤 8

初级微积分 示例

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