初级微积分示例

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$

解题步骤 1

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.1

化简 $- \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1

重写。

$y - 5 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$

解题步骤 1.1.2

将 ${(x - 3)}^{2}$ 重写为 $(x - 3) (x - 3)$ 。

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot ((x - 3) (x - 3))$

解题步骤 1.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(x - 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

运用分配律。

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x (x - 3) - 3 (x - 3))$

解题步骤 1.1.3.2

运用分配律。

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))$

解题步骤 1.1.3.3

运用分配律。

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 1.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 1.1.4.1.2

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 1.1.4.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)$

解题步骤 1.1.4.2

从 $- 3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 6 x + 9)$

解题步骤 1.1.5

运用分配律。

$y - 5 = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

解题步骤 1.1.6

化简。

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解题步骤 1.1.6.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

解题步骤 1.1.6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.2.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

解题步骤 1.1.6.2.2

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- 3 x)) - \frac{1}{2} \cdot 9$

解题步骤 1.1.6.2.3

约去公因数。

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- 3 x)) - \frac{1}{2} \cdot 9$

解题步骤 1.1.6.2.4

重写表达式。

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} - 1 (- 3 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

解题步骤 1.1.6.3

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{1}{2} \cdot 9$

解题步骤 1.1.6.4

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot 9$ 。

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解题步骤 1.1.6.4.1

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - 9 (\frac{1}{2})$

解题步骤 1.1.6.4.2

组合 $- 9$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9}{2}$

解题步骤 1.1.7

将负号移到分数的前面。

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2}$

解题步骤 1.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.2.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + 5$

解题步骤 1.2.2

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 1.2.3

组合 $5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

解题步骤 1.2.4

在公分母上合并分子。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9 + 5 \cdot 2}{2}$

解题步骤 1.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9 + 10}{2}$

解题步骤 1.2.5.2

将 $- 9$ 和 $10$ 相加。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{1}{2}$

解题步骤 2

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 2.1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 2.1.1

对 $- \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{1}{2}$ 进行配方。

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解题步骤 2.1.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 3$

$c = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.1.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 2.1.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{3}{2 (- \frac{1}{2})}$

解题步骤 2.1.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.1.1.3.2.1

化简分母。

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解题步骤 2.1.1.3.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$d = \frac{3}{- 2 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 2.1.1.3.2.1.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$d = \frac{3}{\frac{- 2}{2}}$

解题步骤 2.1.1.3.2.2

用 $- 2$ 除以 $2$ 。

$d = \frac{3}{- 1}$

解题步骤 2.1.1.3.2.3

用 $3$ 除以 $- 1$ 。

$d = - 3$

解题步骤 2.1.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 2.1.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = \frac{1}{2} - \frac{3^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

解题步骤 2.1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.1.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.4.2.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{4 (- \frac{1}{2})}$

解题步骤 2.1.1.4.2.1.2

化简分母。

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解题步骤 2.1.1.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{- 4 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 2.1.1.4.2.1.2.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{\frac{- 4}{2}}$

解题步骤 2.1.1.4.2.1.3

用 $- 4$ 除以 $2$ 。

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{- 2}$

解题步骤 2.1.1.4.2.1.4

将负号移到分数的前面。

$e = \frac{1}{2} - - \frac{9}{2}$

解题步骤 2.1.1.4.2.1.5

乘以 $- - \frac{9}{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1.4.2.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e = \frac{1}{2} + 1 (\frac{9}{2})$

解题步骤 2.1.1.4.2.1.5.2

将 $\frac{9}{2}$ 乘以 $1$ 。

$e = \frac{1}{2} + \frac{9}{2}$

解题步骤 2.1.1.4.2.2

在公分母上合并分子。

$e = \frac{1 + 9}{2}$

解题步骤 2.1.1.4.2.3

将 $1$ 和 $9$ 相加。

$e = \frac{10}{2}$

解题步骤 2.1.1.4.2.4

用 $10$ 除以 $2$ 。

$e = 5$

解题步骤 2.1.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 5$ 。

$- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 5$

解题步骤 2.1.2

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2} + 5$

解题步骤 2.2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 3$

$k = 5$

解题步骤 2.3

因为 $a$ 的值是负数，所以该抛物线开口向下。

开口向下

解题步骤 2.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(3, 5)$

解题步骤 2.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 2.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 2.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

解题步骤 2.5.3

化简。

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解题步骤 2.5.3.1

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.3.1.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

解题步骤 2.5.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 2.5.3.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

解题步骤 2.5.3.3

用 $4$ 除以 $2$ 。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 2.6

求焦点。

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解题步骤 2.6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 2.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(3, \frac{9}{2})$

解题步骤 2.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = 3$

解题步骤 2.8

求准线。

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解题步骤 2.8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 2.8.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = \frac{11}{2}$

解题步骤 2.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(3, 5)$

焦点： $(3, \frac{9}{2})$

对称轴： $x = 3$

准线： $y = \frac{11}{2}$

方向：开口向下

顶点： $(3, 5)$

焦点： $(3, \frac{9}{2})$

对称轴： $x = 3$

准线： $y = \frac{11}{2}$

解题步骤 3

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} + 3 (1) + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

在公分母上合并分子。

$f (1) = 3 (1) + \frac{- {(1)}^{2} + 1}{2}$

解题步骤 3.2.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 3 (1) + \frac{- 1 \cdot 1 + 1}{2}$

解题步骤 3.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 3 (1) + \frac{- 1 + 1}{2}$

解题步骤 3.2.3

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = 3 (1) + \frac{0}{2}$

解题步骤 3.2.4

化简每一项。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 3 + \frac{0}{2}$

解题步骤 3.2.4.2

用 $0$ 除以 $2$ 。

$f (1) = 3 + 0$

解题步骤 3.2.5

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$f (1) = 3$

解题步骤 3.2.6

最终答案为 $3$ 。

$3$

解题步骤 3.3

$y$ 在 $x = 1$ 处的值为 $3$ 。

$y = 3$

解题步骤 3.4

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 3 (2) + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.5

化简结果。

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解题步骤 3.5.1

在公分母上合并分子。

$f (2) = 3 (2) + \frac{- {(2)}^{2} + 1}{2}$

解题步骤 3.5.2

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{2}$

解题步骤 3.5.2.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 4 + 1}{2}$

解题步骤 3.5.3

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 3}{2}$

解题步骤 3.5.4

化简每一项。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = 6 + \frac{- 3}{2}$

解题步骤 3.5.4.2

将负号移到分数的前面。

$f (2) = 6 - \frac{3}{2}$

解题步骤 3.5.5

要将 $6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (2) = 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

解题步骤 3.5.6

组合 $6$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (2) = \frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

解题步骤 3.5.7

在公分母上合并分子。

$f (2) = \frac{6 \cdot 2 - 3}{2}$

解题步骤 3.5.8

化简分子。

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解题步骤 3.5.8.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = \frac{12 - 3}{2}$

解题步骤 3.5.8.2

从 $12$ 中减去 $3$ 。

$f (2) = \frac{9}{2}$

解题步骤 3.5.9

最终答案为 $\frac{9}{2}$ 。

$\frac{9}{2}$

解题步骤 3.6

$y$ 在 $x = 2$ 处的值为 $\frac{9}{2}$ 。

$y = \frac{9}{2}$

解题步骤 3.7

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f (5) = - \frac{{(5)}^{2}}{2} + 3 (5) + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.8

化简结果。

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解题步骤 3.8.1

在公分母上合并分子。

$f (5) = 3 (5) + \frac{- {(5)}^{2} + 1}{2}$

解题步骤 3.8.2

化简每一项。

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解题步骤 3.8.2.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 1 \cdot 25 + 1}{2}$

解题步骤 3.8.2.2

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 25 + 1}{2}$

解题步骤 3.8.3

将 $- 25$ 和 $1$ 相加。

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 24}{2}$

解题步骤 3.8.4

化简每一项。

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解题步骤 3.8.4.1

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$f (5) = 15 + \frac{- 24}{2}$

解题步骤 3.8.4.2

用 $- 24$ 除以 $2$ 。

$f (5) = 15 - 12$

解题步骤 3.8.5

从 $15$ 中减去 $12$ 。

$f (5) = 3$

解题步骤 3.8.6

最终答案为 $3$ 。

$3$

解题步骤 3.9

$y$ 在 $x = 5$ 处的值为 $3$ 。

$y = 3$

解题步骤 3.10

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = - \frac{{(4)}^{2}}{2} + 3 (4) + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.11

化简结果。

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解题步骤 3.11.1

在公分母上合并分子。

$f (4) = 3 (4) + \frac{- {(4)}^{2} + 1}{2}$

解题步骤 3.11.2

化简每一项。

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解题步骤 3.11.2.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 1 \cdot 16 + 1}{2}$

解题步骤 3.11.2.2

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 16 + 1}{2}$

解题步骤 3.11.3

将 $- 16$ 和 $1$ 相加。

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 15}{2}$

解题步骤 3.11.4

化简每一项。

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解题步骤 3.11.4.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f (4) = 12 + \frac{- 15}{2}$

解题步骤 3.11.4.2

将负号移到分数的前面。

$f (4) = 12 - \frac{15}{2}$

解题步骤 3.11.5

要将 $12$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (4) = 12 \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2}$

解题步骤 3.11.6

组合 $12$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (4) = \frac{12 \cdot 2}{2} - \frac{15}{2}$

解题步骤 3.11.7

在公分母上合并分子。

$f (4) = \frac{12 \cdot 2 - 15}{2}$

解题步骤 3.11.8

化简分子。

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解题步骤 3.11.8.1

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$f (4) = \frac{24 - 15}{2}$

解题步骤 3.11.8.2

从 $24$ 中减去 $15$ 。

$f (4) = \frac{9}{2}$

解题步骤 3.11.9

最终答案为 $\frac{9}{2}$ 。

$\frac{9}{2}$

解题步骤 3.12

$y$ 在 $x = 4$ 处的值为 $\frac{9}{2}$ 。

$y = \frac{9}{2}$

解题步骤 3.13

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{9}{2} \\ 3 & 5 \\ 4 & \frac{9}{2} \\ 5 & 3 \end{array}$

解题步骤 4

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(3, 5)$

焦点： $(3, \frac{9}{2})$

对称轴： $x = 3$

准线： $y = \frac{11}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{9}{2} \\ 3 & 5 \\ 4 & \frac{9}{2} \\ 5 & 3 \end{array}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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