初级微积分示例

$f (x) = 5 \tan (\frac{1}{4} x + \frac{π}{4}) - 2$

解题步骤 1

求渐近线。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

对于任意 $y = \tan (x)$ ，垂直渐近线均出现在 $x = \frac{π}{2} + n π$ 处，其中 $n$ 为一个整数。使用 $y = \tan (x)$ 、 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 的基本周期求 $y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ 的垂直渐近线。将 $y = a \tan (b x + c) + d$ 的正切函数的变量 $b x + c$ 设为等于 $- \frac{π}{2}$ ，以求 $y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ 的垂直渐近线出现的位置。

$\frac{x}{4} + \frac{π}{4} = - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{π}{4}$ 。

$\frac{x}{4} = - \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.1.2

要将 $- \frac{π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x}{4} = - \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1.3.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x}{4} = - \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.1.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x}{4} = - \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{4} = \frac{- π \cdot 2 - π}{4}$

解题步骤 1.2.1.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x}{4} = \frac{- 2 π - π}{4}$

解题步骤 1.2.1.5.2

从 $- 2 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{x}{4} = \frac{- 3 π}{4}$

解题步骤 1.2.1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{x}{4} = - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 1.2.2

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$x = - 3 π$

解题步骤 1.3

使正切函数内的 $\frac{x}{4} + \frac{π}{4}$ 等于 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{x}{4} + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

解题步骤 1.4

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{π}{4}$ 。

$\frac{x}{4} = \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

解题步骤 1.4.1.2

要将 $\frac{π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x}{4} = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

解题步骤 1.4.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1.3.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x}{4} = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

解题步骤 1.4.1.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x}{4} = \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 1.4.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{4} = \frac{π \cdot 2 - π}{4}$

解题步骤 1.4.1.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1.5.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{x}{4} = \frac{2 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 1.4.1.5.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{x}{4} = \frac{π}{4}$

解题步骤 1.4.2

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$x = π$

解题步骤 1.5

$y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ 的基期将出现在 $(- 3 π, π)$ ，其中 $- 3 π$ 和 $π$ 为垂直渐近线。

$(- 3 π, π)$

解题步骤 1.6

求周期 $\frac{π}{| b |}$ 以确定垂直渐近线的位置。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.1

$\frac{1}{4}$ 约为 $0.25$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

解题步骤 1.6.2

将分子乘以分母的倒数。

$π \cdot 4$

解题步骤 1.6.3

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$4 π$

解题步骤 1.7

$y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ 的垂直渐近线出现在 $- 3 π$ 、 $π$ 以及每一处 $x = - 3 π + 4 π n$ ，其中 $n$ 为整数。

$x = - 3 π + 4 π n$

解题步骤 1.8

正切只具有垂直渐近线。

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线： $x = - 3 π + 4 π n$ ，其中 $n$ 是一个整数

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线： $x = - 3 π + 4 π n$ ，其中 $n$ 是一个整数

解题步骤 2

使用 $a \tan (b x - c) + d$ 的形式求用于求振幅、周期、相移和垂直位移的变量。

$a = 5$

$b = \frac{1}{4}$

$c = - \frac{π}{4}$

$d = - 2$

解题步骤 3

因为函数 $t a n$ 的图像没有最大值或最小值，所以不存在振幅值。

振幅：无

解题步骤 4

使用公式 $\frac{π}{| b |}$ 求周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

求 $5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 4.1.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{4}$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| \frac{1}{4} |}$

解题步骤 4.1.3

$\frac{1}{4}$ 约为 $0.25$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

解题步骤 4.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$π \cdot 4$

解题步骤 4.1.5

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$4 π$

解题步骤 4.2

求 $- 2$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 4.2.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{4}$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| \frac{1}{4} |}$

解题步骤 4.2.3

$\frac{1}{4}$ 约为 $0.25$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

解题步骤 4.2.4

将分子乘以分母的倒数。

$π \cdot 4$

解题步骤 4.2.5

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$4 π$

解题步骤 4.3

三角函数加、减后的周期是每一函数周期的最大值。

$4 π$

解题步骤 5

使用公式 $\frac{c}{b}$ 求相移。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

函数的相移可通过 $\frac{c}{b}$ 计算。

相移： $\frac{c}{b}$

解题步骤 5.2

替换相移方程中 $c$ 和 $b$ 的值。

相移： $\frac{- \frac{π}{4}}{\frac{1}{4}}$

解题步骤 5.3

将分子乘以分母的倒数。

相移： $- \frac{π}{4} \cdot 4$

解题步骤 5.4

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

将 $- \frac{π}{4}$ 中前置负号移到分子中。

相移： $\frac{- π}{4} \cdot 4$

解题步骤 5.4.2

约去公因数。

相移： $\frac{- π}{4} \cdot 4$

解题步骤 5.4.3

重写表达式。

相移： $- π$

解题步骤 6

列出三角函数的性质。

振幅：无

周期： $4 π$

相移：： $- π$ （ $π$ 向左移动）

垂直位移： $- 2$

解题步骤 7

三角函数可通过振幅、周期、相移、垂直位移和相关点来绘制出其图象。

垂直渐近线： $x = - 3 π + 4 π n$ ，其中 $n$ 是一个整数

振幅：无

周期： $4 π$

相移：： $- π$ （ $π$ 向左移动）

垂直位移： $- 2$

解题步骤 8

初级微积分 示例

初级微积分示例