初级微积分示例

$f (x) = - 4 x^{3} + 4 x^{2} + 15 x$

解题步骤 1

求在 $x = - 1$ 处的点。

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解题步骤 1.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = - 4 {(- 1)}^{3} + 4 {(- 1)}^{2} + 15 (- 1)$

解题步骤 1.2

化简结果。

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解题步骤 1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 1) = - 4 \cdot - 1 + 4 {(- 1)}^{2} + 15 (- 1)$

解题步骤 1.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 1) = 4 + 4 {(- 1)}^{2} + 15 (- 1)$

解题步骤 1.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1) = 4 + 4 \cdot 1 + 15 (- 1)$

解题步骤 1.2.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (- 1) = 4 + 4 + 15 (- 1)$

解题步骤 1.2.1.5

将 $15$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 1) = 4 + 4 - 15$

解题步骤 1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$f (- 1) = 8 - 15$

解题步骤 1.2.2.2

从 $8$ 中减去 $15$ 。

$f (- 1) = - 7$

解题步骤 1.2.3

最终答案为 $- 7$ 。

$- 7$

解题步骤 1.3

把 $- 7$ 转换成小数。

$y = - 7$

解题步骤 2

求在 $x = 0$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = - 4 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} + 15 (0)$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = - 4 \cdot 0 + 4 {(0)}^{2} + 15 (0)$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 4 {(0)}^{2} + 15 (0)$

解题步骤 2.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 4 \cdot 0 + 15 (0)$

解题步骤 2.2.1.4

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 15 (0)$

解题步骤 2.2.1.5

将 $15$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 0$

解题步骤 2.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 2.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 2.3

把 $0$ 转换成小数。

$y = 0$

解题步骤 3

求在 $x = 1$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = - 4 {(1)}^{3} + 4 {(1)}^{2} + 15 (1)$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = - 4 \cdot 1 + 4 {(1)}^{2} + 15 (1)$

解题步骤 3.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = - 4 + 4 {(1)}^{2} + 15 (1)$

解题步骤 3.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$f (1) = - 4 + 4 \cdot 1 + 15 (1)$

解题步骤 3.2.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = - 4 + 4 + 15 (1)$

解题步骤 3.2.1.5

将 $15$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = - 4 + 4 + 15$

解题步骤 3.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$f (1) = 0 + 15$

解题步骤 3.2.2.2

将 $0$ 和 $15$ 相加。

$f (1) = 15$

解题步骤 3.2.3

最终答案为 $15$ 。

$15$

解题步骤 3.3

把 $15$ 转换成小数。

$y = 15$

解题步骤 4

求在 $x = 2$ 处的点。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = - 4 {(2)}^{3} + 4 {(2)}^{2} + 15 (2)$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2) = - 4 \cdot 8 + 4 {(2)}^{2} + 15 (2)$

解题步骤 4.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$f (2) = - 32 + 4 {(2)}^{2} + 15 (2)$

解题步骤 4.2.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2) = - 32 + 4 \cdot 4 + 15 (2)$

解题步骤 4.2.1.4

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f (2) = - 32 + 16 + 15 (2)$

解题步骤 4.2.1.5

将 $15$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = - 32 + 16 + 30$

解题步骤 4.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $- 32$ 和 $16$ 相加。

$f (2) = - 16 + 30$

解题步骤 4.2.2.2

将 $- 16$ 和 $30$ 相加。

$f (2) = 14$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $14$ 。

$14$

解题步骤 4.3

把 $14$ 转换成小数。

$y = 14$

解题步骤 5

求在 $x = 3$ 处的点。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = - 4 {(3)}^{3} + 4 {(3)}^{2} + 15 (3)$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (3) = - 4 \cdot 27 + 4 {(3)}^{2} + 15 (3)$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $27$ 。

$f (3) = - 108 + 4 {(3)}^{2} + 15 (3)$

解题步骤 5.2.1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (3) = - 108 + 4 \cdot 9 + 15 (3)$

解题步骤 5.2.1.4

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$f (3) = - 108 + 36 + 15 (3)$

解题步骤 5.2.1.5

将 $15$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = - 108 + 36 + 45$

解题步骤 5.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $- 108$ 和 $36$ 相加。

$f (3) = - 72 + 45$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 72$ 和 $45$ 相加。

$f (3) = - 27$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 27$ 。

$- 27$

解题步骤 5.3

把 $- 27$ 转换成小数。

$y = - 27$

解题步骤 6

三次函数可通过函数性质和相关点来画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 7 \\ 0 & 0 \\ 1 & 15 \\ 2 & 14 \\ 3 & - 27 \end{array}$

解题步骤 7

三次函数可通过函数性质和所选点来画出其图像。

向左上升，向右下降

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 7 \\ 0 & 0 \\ 1 & 15 \\ 2 & 14 \\ 3 & - 27 \end{array}$

解题步骤 8

初级微积分 示例

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