初级微积分示例

$f (x) = 3 \log (x + 5) + 2$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

求在何处表达式 $\log ({(x + 5)}^{3}) + 2$ 无定义。

$x \leq - 5$

解题步骤 1.2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- 5$ 时， $\log ({(x + 5)}^{3}) + 2$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- 5$ 时， $\log ({(x + 5)}^{3}) + 2$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = - 5$ 是一条垂直渐近线。

$x = - 5$

解题步骤 1.3

忽略对数，考虑分子的次数为 $n$ 且分母的次数为 $m$ 的有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 1.4

因为 $Q (x)$ 为 $1$ ，所以不存在水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 1.5

对数函数和三角函数没有斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 1.6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 5$

不存在水平渐近线

垂直渐近线： $x = - 5$

不存在水平渐近线

解题步骤 2

求在 $x = - 4$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 4) = 3 \log ((- 4) + 5) + 2$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $- 4$ 和 $5$ 相加。

$f (- 4) = 3 \log (1) + 2$

解题步骤 2.2.1.2

$1$ 的对数底 $10$ 的值为 $0$ 。

$f (- 4) = 3 \cdot 0 + 2$

解题步骤 2.2.1.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$f (- 4) = 0 + 2$

解题步骤 2.2.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$f (- 4) = 2$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 2.3

把 $2$ 转换成小数。

$y = 2$

解题步骤 3

求在 $x = 5$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f (5) = 3 \log ((5) + 5) + 2$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $5$ 和 $5$ 相加。

$f (5) = 3 \log (10) + 2$

解题步骤 3.2.1.2

$10$ 的对数底 $10$ 的值为 $1$ 。

$f (5) = 3 \cdot 1 + 2$

解题步骤 3.2.1.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (5) = 3 + 2$

解题步骤 3.2.2

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$f (5) = 5$

解题步骤 3.2.3

最终答案为 $5$ 。

$5$

解题步骤 3.3

把 $5$ 转换成小数。

$y = 5$

解题步骤 4

求在 $x = - 3$ 处的点。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 3) = 3 \log ((- 3) + 5) + 2$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $- 3$ 和 $5$ 相加。

$f (- 3) = 3 \log (2) + 2$

解题步骤 4.2.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \log (2)$ 。

$f (- 3) = \log (2^{3}) + 2$

解题步骤 4.2.1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 3) = \log (8) + 2$

解题步骤 4.2.2

最终答案为 $\log (8) + 2$ 。

$\log (8) + 2$

解题步骤 4.3

把 $\log (8) + 2$ 转换成小数。

$y = 2.90308998$

解题步骤 5

可以使用 $x = - 5$ 处的垂直渐近线和点 $(- 4, 2), (5, 5), (- 3, 2.90308998)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线： $x = - 5$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 2 \\ - 3 & 2.903 \\ 5 & 5 \end{array}$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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