初级微积分示例

$\sqrt{x} + x = 1$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$\sqrt{x} = 1 - x$

解题步骤 2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x}}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

解题步骤 3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - x)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - x)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = {(1 - x)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2

化简。

$x = {(1 - x)}^{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简 ${(1 - x)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将 ${(1 - x)}^{2}$ 重写为 $(1 - x) (1 - x)$ 。

$x = (1 - x) (1 - x)$

解题步骤 3.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 - x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

运用分配律。

$x = 1 (1 - x) - x (1 - x)$

解题步骤 3.3.1.2.2

运用分配律。

$x = 1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)$

解题步骤 3.3.1.2.3

运用分配律。

$x = 1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)$

解题步骤 3.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$x = 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)$

解题步骤 3.3.1.3.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$x = 1 - x - x \cdot 1 - x (- x)$

解题步骤 3.3.1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x = 1 - x - x - x (- x)$

解题步骤 3.3.1.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$x = 1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

解题步骤 3.3.1.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$x = 1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

解题步骤 3.3.1.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x = 1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

解题步骤 3.3.1.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = 1 - x - x + 1 x^{2}$

解题步骤 3.3.1.3.1.7

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x = 1 - x - x + x^{2}$

解题步骤 3.3.1.3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$x = 1 - 2 x + x^{2}$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$1 - 2 x + x^{2} = x$

解题步骤 4.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$1 - 2 x + x^{2} - x = 0$

解题步骤 4.2.2

从 $- 2 x$ 中减去 $x$ 。

$1 + x^{2} - 3 x = 0$

解题步骤 4.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.4

将 $a = 1$ 、 $b = - 3$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

化简分子。

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解题步骤 4.5.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 4.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.3

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 4.6

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 5

排除不能使 $\sqrt{x} + x = 1$ 成立的解。

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

小数形式：

$x = 0.38196601 \dots$

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