初级微积分示例

$(\frac{π}{2}, π)$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(\frac{π}{2}, π)$ 之间）之间的 $\sin (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(\frac{π}{2}, 0)$ 和 $(\frac{π}{2}, π)$ 三点之间的三角形。

取反： $π$

邻边： $\frac{π}{2}$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

对 $\frac{π}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{π^{2}}{2^{2}} + {(π)}^{2}}$

解题步骤 2.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{π^{2}}{4} + {(π)}^{2}}$

解题步骤 2.3

要将 $π^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{π^{2}}{4} + π^{2} \cdot \frac{4}{4}}$

解题步骤 2.4

组合 $π^{2}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{π^{2}}{4} + \frac{π^{2} \cdot 4}{4}}$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{π^{2} + π^{2} \cdot 4}{4}}$

解题步骤 2.6

以因式分解的形式重写 $\frac{π^{2} + π^{2} \cdot 4}{4}$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $4$ 移到 $π^{2}$ 的左侧。

$\sqrt{\frac{π^{2} + 4 \cdot π^{2}}{4}}$

解题步骤 2.6.2

将 $π^{2}$ 和 $4 π^{2}$ 相加。

$\sqrt{\frac{5 π^{2}}{4}}$

解题步骤 2.7

将 $\sqrt{\frac{5 π^{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{5 π^{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$\frac{\sqrt{5 π^{2}}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 2.8

化简分子。

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解题步骤 2.8.1

将 $5$ 和 $π^{2}$ 重新排序。

$\frac{\sqrt{π^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 2.8.2

从根式下提出各项。

$\frac{π \sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 2.9

化简分母。

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解题步骤 2.9.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{π \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 2.9.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{π \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3

因为 $\sin (θ) = \frac{取反}{斜边}$ ，所以 $\sin (θ) = \frac{π}{\frac{π \sqrt{5}}{2}}$ 。

$\frac{π}{\frac{π \sqrt{5}}{2}}$

解题步骤 4

化简 $\sin (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

将分子乘以分母的倒数。

$\sin (θ) = π (\frac{2}{π \sqrt{5}})$

解题步骤 4.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $π \sqrt{5}$ 中分解出因数 $π$ 。

$\sin (θ) = π (\frac{2}{π (\sqrt{5})})$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

$\sin (θ) = π (\frac{2}{π \sqrt{5}})$

解题步骤 4.2.3

重写表达式。

$\sin (θ) = \frac{2}{\sqrt{5}}$

解题步骤 4.3

将 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 4.4.1

将 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 4.4.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 4.4.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 4.4.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.6.4.1

约去公因数。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.4.2

重写表达式。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 4.4.6.5

计算指数。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 5

求近似值。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \approx 0.89442719$

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