初级微积分示例

$f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 1$

解题步骤 1

将 $f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 1$ 写为等式。

$y = 2 x^{2} - 4 x - 1$

解题步骤 2

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 2.1

对 $2 x^{2} - 4 x - 1$ 进行配方。

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解题步骤 2.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 2$

$b = - 4$

$c = - 1$

解题步骤 2.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.1.3.2.1

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.3.2.1.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.1.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (2)}$

解题步骤 2.1.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.1.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 2}{2}$

解题步骤 2.1.3.2.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.3.2.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2}$

解题步骤 2.1.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.3.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

解题步骤 2.1.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.1.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 1}{1}$

解题步骤 2.1.3.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$d = - 1$

解题步骤 2.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 2.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = - 1 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 2}$

解题步骤 2.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.2.1.1

约去 ${(- 4)}^{2}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.2.1.1.1

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$e = - 1 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 2}$

解题步骤 2.1.4.2.1.1.2

对 $- 1 (4)$ 运用乘积法则。

$e = - 1 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 2}$

解题步骤 2.1.4.2.1.1.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = - 1 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 2}$

解题步骤 2.1.4.2.1.1.4

将 $4^{2}$ 乘以 $1$ 。

$e = - 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 2}$

解题步骤 2.1.4.2.1.1.5

从 $4^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

解题步骤 2.1.4.2.1.1.6

约去公因数。

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解题步骤 2.1.4.2.1.1.6.1

从 $4 \cdot 2$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (2)}$

解题步骤 2.1.4.2.1.1.6.2

约去公因数。

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

解题步骤 2.1.4.2.1.1.6.3

重写表达式。

$e = - 1 - \frac{4}{2}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.2.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$e = - 1 - \frac{2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.4.2.1.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$e = - 1 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2.2.2

约去公因数。

$e = - 1 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2.2.3

重写表达式。

$e = - 1 - \frac{2}{1}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$e = - 1 - 1 \cdot 2$

解题步骤 2.1.4.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$e = - 1 - 2$

解题步骤 2.1.4.2.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$e = - 3$

解题步骤 2.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $2 {(x - 1)}^{2} - 3$ 。

$2 {(x - 1)}^{2} - 3$

解题步骤 2.2

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = 2 {(x - 1)}^{2} - 3$

解题步骤 3

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = 2$

$h = 1$

$k = - 3$

解题步骤 4

因为 $a$ 的值是正数，所以该抛物线开口向上。

开口向上

解题步骤 5

求顶点 $(h, k)$ 。

$(1, - 3)$

解题步骤 6

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 6.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 6.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

解题步骤 6.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{8}$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(1, - \frac{23}{8})$

解题步骤 8

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = 1$

解题步骤 9

初级微积分 示例

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