初级微积分示例

$f (x) = {(2 - x^{3})}^{5}$

解题步骤 1

将 $f (x) = {(2 - x^{3})}^{5}$ 写为等式。

$y = {(2 - x^{3})}^{5}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = {(2 - y^{3})}^{5}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 ${(2 - y^{3})}^{5} = x$ 。

${(2 - y^{3})}^{5} = x$

解题步骤 3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$2 - y^{3} = \sqrt[5]{x}$

解题步骤 3.3

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- y^{3} = \sqrt[5]{x} - 2$

解题步骤 3.4

将 $- y^{3} = \sqrt[5]{x} - 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.4.1

将 $- y^{3} = \sqrt[5]{x} - 2$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{\sqrt[5]{x}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{\sqrt[5]{x}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2

用 $y^{3}$ 除以 $1$ 。

$y^{3} = \frac{\sqrt[5]{x}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.3.1.1

移动 $\frac{\sqrt[5]{x}}{- 1}$ 中分母的负号。

$y^{3} = - 1 \cdot \sqrt[5]{x} + \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 3.4.3.1.2

将 $- 1 \cdot \sqrt[5]{x}$ 重写为 $- \sqrt[5]{x}$ 。

$y^{3} = - \sqrt[5]{x} + \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 3.4.3.1.3

用 $- 2$ 除以 $- 1$ 。

$y^{3} = - \sqrt[5]{x} + 2$

解题步骤 3.5

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}$ 是否为 $f (x) = {(2 - x^{3})}^{5}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5})$ 。

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{{(2 - x^{3})}^{5}} + 2}$

解题步骤 5.2.3

去掉圆括号。

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{{(2 - x^{3})}^{5}} + 2}$

解题步骤 5.2.4

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{- (2 - x^{3}) + 2}$

解题步骤 5.2.5

运用分配律。

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{- 1 \cdot 2 + x^{3} + 2}$

解题步骤 5.2.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{- 2 + x^{3} + 2}$

解题步骤 5.2.7

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

解题步骤 5.2.8

将 $x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

解题步骤 5.2.9

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2})$ 。

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - {(\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2})}^{3})}^{5}$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

将 ${\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}}^{3}$ 重写为 $- \sqrt[5]{x} + 2$ 。

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解题步骤 5.3.3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}$ 重写成 ${(- \sqrt[5]{x} + 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - {({(- \sqrt[5]{x} + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3})}^{5}$

解题步骤 5.3.3.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - {(- \sqrt[5]{x} + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3})}^{5}$

解题步骤 5.3.3.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - {(- \sqrt[5]{x} + 2)}^{\frac{3}{3}})}^{5}$

解题步骤 5.3.3.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.4.1

约去公因数。

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - {(- \sqrt[5]{x} + 2)}^{\frac{3}{3}})}^{5}$

解题步骤 5.3.3.1.4.2

重写表达式。

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - (- \sqrt[5]{x} + 2))}^{5}$

解题步骤 5.3.3.1.5

化简。

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - (- \sqrt[5]{x} + 2))}^{5}$

解题步骤 5.3.3.2

运用分配律。

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 + \sqrt[5]{x} - 1 \cdot 2)}^{5}$

解题步骤 5.3.3.3

乘以 $- - \sqrt[5]{x}$ 。

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解题步骤 5.3.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 + 1 \sqrt[5]{x} - 1 \cdot 2)}^{5}$

解题步骤 5.3.3.3.2

将 $\sqrt[5]{x}$ 乘以 $1$ 。

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 + \sqrt[5]{x} - 1 \cdot 2)}^{5}$

解题步骤 5.3.3.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 + \sqrt[5]{x} - 2)}^{5}$

解题步骤 5.3.4

化简项。

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解题步骤 5.3.4.1

合并 $2 + \sqrt[5]{x} - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(0 + \sqrt[5]{x})}^{5}$

解题步骤 5.3.4.1.2

将 $0$ 和 $\sqrt[5]{x}$ 相加。

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {\sqrt[5]{x}}^{5}$

解题步骤 5.3.4.2

将 ${\sqrt[5]{x}}^{5}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 5.3.4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{5}}$ 。

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$

解题步骤 5.3.4.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

解题步骤 5.3.4.2.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $5$ 。

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = x^{\frac{5}{5}}$

解题步骤 5.3.4.2.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.2.4.1

约去公因数。

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = x^{\frac{5}{5}}$

解题步骤 5.3.4.2.4.2

重写表达式。

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = x$

解题步骤 5.3.4.2.5

化简。

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}$ 为 $f (x) = {(2 - x^{3})}^{5}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}$

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