初级微积分示例

$x y = 9$ , $x^{2} + y^{2} = 82$

解题步骤 1

将 $x y = 9$ 中的每一项除以 $y$ 并化简。

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解题步骤 1.1

将 $x y = 9$ 中的每一项都除以 $y$ 。

$\frac{x y}{y} = \frac{9}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 82$

解题步骤 1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y}{y} = \frac{9}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 82$

解题步骤 1.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{9}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 82$

解题步骤 2

将每个方程中所有出现的 $x$ 替换成 $\frac{9}{y}$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\frac{9}{y}$ 替换 $x^{2} + y^{2} = 82$ 中所有出现的 $x$ .

${(\frac{9}{y})}^{2} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

对 $\frac{9}{y}$ 运用乘积法则。

$\frac{9^{2}}{y^{2}} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 2.2.1.2

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

$\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

$\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

$\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3

在 $\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$ 中求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y^{2}, 1, 1$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

$y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$ 中的每一项乘以 $y^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$ 中的每一项乘以 $y^{2}$ 。

$\frac{81}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{81}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

重写表达式。

$81 + y^{2} y^{2} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

$81 + y^{2} y^{2} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.2.2.1.2

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$81 + y^{2 + 2} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.2.2.1.2.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$81 + y^{4} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

$81 + y^{4} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

$81 + y^{4} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

$81 + y^{4} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

$81 + y^{4} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3

求解方程。

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解题步骤 3.3.1

从等式两边同时减去 $82 y^{2}$ 。

$81 + y^{4} - 82 y^{2} = 0$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3.2

将 $u = y^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$u^{2} - 82 u + 81 = 0$

$u = y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3.3

使用 AC 法来对 $u^{2} - 82 u + 81$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.3.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $81$ ，和为 $- 82$ 。

$- 81, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 81) (u - 1) = 0$

$x = \frac{9}{y}$

$(u - 81) (u - 1) = 0$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 81 = 0$

$u - 1 = 0$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3.5

将 $u - 81$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 3.3.5.1

将 $u - 81$ 设为等于 $0$ 。

$u - 81 = 0$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3.5.2

在等式两边都加上 $81$ 。

$u = 81$

$x = \frac{9}{y}$

$u = 81$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3.6

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 3.3.6.1

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$u - 1 = 0$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3.6.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$u = 1$

$x = \frac{9}{y}$

$u = 1$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3.7

最终解为使 $(u - 81) (u - 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = 81, 1$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3.8

将 $u = y^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$y^{2} = 81$

$y^{2} = 1$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3.9

求解 $y$ 的第一个方程。

$y^{2} = 81$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3.10

求解 $y$ 的方程。

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解题步骤 3.3.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{81}$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3.10.2

化简 $\pm \sqrt{81}$ 。

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解题步骤 3.3.10.2.1

将 $81$ 重写为 $9^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{9^{2}}$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3.10.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$y = \pm 9$

$x = \frac{9}{y}$

$y = \pm 9$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3.10.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.3.10.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = 9$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3.10.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - 9$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3.10.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = 9, - 9$

$x = \frac{9}{y}$

$y = 9, - 9$

$x = \frac{9}{y}$

$y = 9, - 9$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3.11

求解 $y$ 的第二个方程。

$y^{2} = 1$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3.12

求解 $y$ 的方程。

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解题步骤 3.3.12.1

去掉圆括号。

$y^{2} = 1$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{1}$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3.12.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$y = \pm 1$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3.12.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.3.12.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = 1$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3.12.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - 1$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3.12.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = 1, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

$y = 1, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

$y = 1, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 3.3.13

$y^{4} - 82 y^{2} + 81 = 0$ 的解是 $y = 9, - 9, 1, - 1$ 。

$y = 9, - 9, 1, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

$y = 9, - 9, 1, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

$y = 9, - 9, 1, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

解题步骤 4

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $9$ 。

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解题步骤 4.1

使用 $9$ 替换 $x = \frac{9}{y}$ 中所有出现的 $y$ .

$x = \frac{9}{9}$

$y = 9$

解题步骤 4.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.1

用 $9$ 除以 $9$ 。

$x = 1$

$y = 9$

$x = 1$

$y = 9$

$x = 1$

$y = 9$

解题步骤 5

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $- 9$ 。

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解题步骤 5.1

使用 $- 9$ 替换 $x = \frac{9}{y}$ 中所有出现的 $y$ .

$x = \frac{9}{- 9}$

$y = - 9$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

用 $9$ 除以 $- 9$ 。

$x = - 1$

$y = - 9$

$x = - 1$

$y = - 9$

$x = - 1$

$y = - 9$

解题步骤 6

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $9$ 。

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解题步骤 6.1

使用 $9$ 替换 $x = \frac{9}{y}$ 中所有出现的 $y$ .

$x = \frac{9}{9}$

$y = 9$

解题步骤 6.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1

用 $9$ 除以 $9$ 。

$x = 1$

$y = 9$

$x = 1$

$y = 9$

$x = 1$

$y = 9$

解题步骤 7

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $- 9$ 。

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解题步骤 7.1

使用 $- 9$ 替换 $x = \frac{9}{y}$ 中所有出现的 $y$ .

$x = \frac{9}{- 9}$

$y = - 9$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

用 $9$ 除以 $- 9$ 。

$x = - 1$

$y = - 9$

$x = - 1$

$y = - 9$

$x = - 1$

$y = - 9$

解题步骤 8

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $1$ 。

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解题步骤 8.1

使用 $1$ 替换 $x = \frac{9}{y}$ 中所有出现的 $y$ .

$x = \frac{9}{1}$

$y = 1$

解题步骤 8.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.1

用 $9$ 除以 $1$ 。

$x = 9$

$y = 1$

$x = 9$

$y = 1$

$x = 9$

$y = 1$

解题步骤 9

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $9$ 。

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解题步骤 9.1

使用 $9$ 替换 $x = \frac{9}{y}$ 中所有出现的 $y$ .

$x = \frac{9}{9}$

$y = 9$

解题步骤 9.2

化简右边。

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解题步骤 9.2.1

用 $9$ 除以 $9$ 。

$x = 1$

$y = 9$

$x = 1$

$y = 9$

$x = 1$

$y = 9$

解题步骤 10

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $- 9$ 。

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解题步骤 10.1

使用 $- 9$ 替换 $x = \frac{9}{y}$ 中所有出现的 $y$ .

$x = \frac{9}{- 9}$

$y = - 9$

解题步骤 10.2

化简右边。

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解题步骤 10.2.1

用 $9$ 除以 $- 9$ 。

$x = - 1$

$y = - 9$

$x = - 1$

$y = - 9$

$x = - 1$

$y = - 9$

解题步骤 11

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $1$ 。

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解题步骤 11.1

使用 $1$ 替换 $x = \frac{9}{y}$ 中所有出现的 $y$ .

$x = \frac{9}{1}$

$y = 1$

解题步骤 11.2

化简右边。

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解题步骤 11.2.1

用 $9$ 除以 $1$ 。

$x = 9$

$y = 1$

$x = 9$

$y = 1$

$x = 9$

$y = 1$

解题步骤 12

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $- 1$ 。

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解题步骤 12.1

使用 $- 1$ 替换 $x = \frac{9}{y}$ 中所有出现的 $y$ .

$x = \frac{9}{- 1}$

$y = - 1$

解题步骤 12.2

化简右边。

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解题步骤 12.2.1

用 $9$ 除以 $- 1$ 。

$x = - 9$

$y = - 1$

$x = - 9$

$y = - 1$

$x = - 9$

$y = - 1$

解题步骤 13

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(1, 9)$

$(- 1, - 9)$

$(9, 1)$

$(- 9, - 1)$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

点形式：

$(1, 9), (- 1, - 9), (9, 1), (- 9, - 1)$

方程形式：

$x = 1, y = 9$

$x = - 1, y = - 9$

$x = 9, y = 1$

$x = - 9, y = - 1$

解题步骤 15

初级微积分 示例

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