初级微积分示例

$f (x) = 4 x^{3}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{3}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

使用二项式定理。

$f (x + h) = 4 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

解题步骤 2.1.2.2

运用分配律。

$f (x + h) = 4 x^{3} + 4 (3 x^{2} h) + 4 (3 x h^{2}) + 4 h^{3}$

解题步骤 2.1.2.3

化简。

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解题步骤 2.1.2.3.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 (x^{2} h) + 4 (3 x h^{2}) + 4 h^{3}$

解题步骤 2.1.2.3.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 (x^{2} h) + 12 (x h^{2}) + 4 h^{3}$

解题步骤 2.1.2.4

去掉圆括号。

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3}$

解题步骤 2.1.2.5

最终答案为 $4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3}$ 。

$4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3}$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 x h^{2} + 4 h^{3}$

解题步骤 2.2.2

移动 $x$ 。

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3}$

解题步骤 2.2.3

移动 $4 x^{3}$ 。

$12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 4 x^{3}$

解题步骤 2.2.4

移动 $12 h x^{2}$ 。

$12 h^{2} x + 4 h^{3} + 12 h x^{2} + 4 x^{3}$

解题步骤 2.2.5

将 $12 h^{2} x$ 和 $4 h^{3}$ 重新排序。

$4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3}$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = 4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3}$

$f (x) = 4 x^{3}$

$f (x + h) = 4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3}$

$f (x) = 4 x^{3}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} - (4 x^{3})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3}}{h}$

解题步骤 4.1.2

从 $4 x^{3}$ 中减去 $4 x^{3}$ 。

$\frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 0}{h}$

解题步骤 4.1.3

将 $4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.4

从 $4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2}$ 中分解出因数 $4 h$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

从 $4 h^{3}$ 中分解出因数 $4 h$ 。

$\frac{4 h \cdot h^{2} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.4.2

从 $12 h^{2} x$ 中分解出因数 $4 h$ 。

$\frac{4 h \cdot h^{2} + 4 h (3 h x) + 12 h x^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.4.3

从 $12 h x^{2}$ 中分解出因数 $4 h$ 。

$\frac{4 h \cdot h^{2} + 4 h (3 h x) + 4 h (3 x^{2})}{h}$

解题步骤 4.1.4.4

从 $4 h \cdot h^{2} + 4 h (3 h x)$ 中分解出因数 $4 h$ 。

$\frac{4 h (h^{2} + 3 h x) + 4 h (3 x^{2})}{h}$

解题步骤 4.1.4.5

从 $4 h (h^{2} + 3 h x) + 4 h (3 x^{2})$ 中分解出因数 $4 h$ 。

$\frac{4 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

解题步骤 4.2

化简项。

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解题步骤 4.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $4 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$ 除以 $1$ 。

$4 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$

解题步骤 4.2.2

运用分配律。

$4 h^{2} + 4 (3 h x) + 4 (3 x^{2})$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$4 h^{2} + 12 (h x) + 4 (3 x^{2})$

解题步骤 4.3.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$4 h^{2} + 12 (h x) + 12 x^{2}$

解题步骤 4.4

移动 $h$ 。

$4 h^{2} + 12 x h + 12 x^{2}$

解题步骤 4.5

移动 $4 h^{2}$ 。

$12 x h + 12 x^{2} + 4 h^{2}$

解题步骤 4.6

将 $12 x h$ 和 $12 x^{2}$ 重新排序。

$12 x^{2} + 12 x h + 4 h^{2}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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